Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P =

Câu hỏi số 798143:

Vận dụng

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \dfrac{1}{a^{2} + 2b^{2} + 3} + \dfrac{1}{b^{2} + 2c^{2} + 3} + \dfrac{1}{c^{2} + 2a^{2} + 3} + \dfrac{3}{2}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798143

Phương pháp giải

Ta có:

$~a^{2} + 2b^{2} + 3 = \left( {a^{2} + b^{2}} \right) + \left( {b^{2} + 1} \right) + 2 \geq 2ab + 2b + 2$

$\left. \Rightarrow\dfrac{1}{a^{2} + 2b^{2} + 3} \right.$ $~ \leq \dfrac{1}{2ab + 2b + 2} = \dfrac{1}{2\left( {ab + b + 1} \right)}$

Chứng minh tương tự ta được:

$~\dfrac{1}{b^{2} + 2c^{2} + 3} \leq \dfrac{1}{2bc + 2c + 2} = \dfrac{1}{2\left( {bc + c + 1} \right)}$

$\dfrac{1}{c^{2} + 2a^{2} + 3}~ \leq \dfrac{1}{2ca + 2a + 2} = \dfrac{1}{2\left( {ca + a + 1} \right)}$

Giải chi tiết

Ta có:

$~a^{2} + 2b^{2} + 3 = \left( {a^{2} + b^{2}} \right) + \left( {b^{2} + 1} \right) + 2 \geq 2ab + 2b + 2$

$\left. \Rightarrow\dfrac{1}{a^{2} + 2b^{2} + 3} \right.$ $~ \leq \dfrac{1}{2ab + 2b + 2} = \dfrac{1}{2\left( {ab + b + 1} \right)}$

Chứng minh tương tự ta được:

$~\dfrac{1}{b^{2} + 2c^{2} + 3} \leq \dfrac{1}{2bc + 2c + 2} = \dfrac{1}{2\left( {bc + c + 1} \right)}$

$\dfrac{1}{c^{2} + 2a^{2} + 3}~ \leq \dfrac{1}{2ca + 2a + 2} = \dfrac{1}{2\left( {ca + a + 1} \right)}$

$\left. ~\Rightarrow P \leq \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{ab + b + 1} + \dfrac{1}{bc + c + 1} + \dfrac{1}{ca + a + 1}} \right) + \dfrac{3}{2} \right.$ (*)

Bây giờ ta chứng minh: $\dfrac{1}{ab + b + 1} + \dfrac{1}{bc + c + 1} + \dfrac{1}{ca + a + 1} = 1$ (**)

Thật vậy, ta có:

$\dfrac{1}{ab + b + 1} + \dfrac{1}{bc + c + 1} + \dfrac{1}{ca + a + 1}$

$= \dfrac{abc}{ab + b + abc} + \dfrac{abc}{bc + abc^{2} + abc} + \dfrac{1}{ca + a + 1}$

$= \dfrac{ac}{ca + a + 1} + \dfrac{a}{1 + ac + a} + \dfrac{1}{ca + a + 1}$

$= \dfrac{ca + a + 1}{ca + a + 1} = 1$

Như vậy (**) đã được chứng minh. Từ (*) và (**) ta được: $P \leq 2$.
Dấu $" = "$ xảy ra khi: $a = b = c = 1$.

Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là 2 xảy ra khi: $a = b = c = 1$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link