Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\left( \text{O} \right)$ có tam giác $ABD$ là tam giác nhọn

Câu hỏi số 798152:

Vận dụng

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\left( \text{O} \right)$ có tam giác $ABD$ là tam giác nhọn và đường chéo AC đi qua tâm O của đường tròn $\left( \text{O} \right)$. Gọi I là trung điểm $\text{BD},\text{H}$ là trực tâm của tam giác $ABD,\text{E}$ là giao điểm khác A của AI với $\left( \text{O} \right)$ và K là hình chiếu vuông góc của H lên AI .
a) Chứng minh $CEHK$ là hình bình hành và $IB^{2} = ID^{2} = IA$. IK .
b) Lấy điểm F trên cung nhỏ BD của đường tròn $\left( \text{O} \right)$ sao cho $\angle BAF = \angle DAI$. Chứng minh các điểm K và F đối xứng nhau qua đường thẳng BD.
c) Chứng minh các đường phân giác trong các góc $\angle BAD$ và $\angle BKD$ cắt nhau trên BD.
d) Trên đường thẳng qua H và song song AC lấy điểm T sao cho $TH = TK$. Chứng minh các điểm $\text{O},\text{K},\text{F},\text{T}$ cùng thuộc một đường tròn.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798152

Phương pháp giải

a) Chứng minh: $IB \cdot IC = IA \cdot IE$.
Mà $IB = IC;IK = IE$ nên $IB^{2} = IA \cdot IK$.
b) Từ giả thuyết, suy ra $EF//BD$.

Nên $OI\bot EF$, do đó $IF = IE = IK$.
Suy ra, $\Delta KFE$ vuông tại F nên BD là trung trực KF .

c) Chứng minh $\dfrac{KB}{KD} = \dfrac{JB}{JD}$. Suy ra KJ là phân giác góc $\angle BKD$ (đpcm).
d) Gọi L là giao điểm của AH và $\left( \text{O} \right)$.

Suy ra, L đối xứng với H qua BD , mà K và F cũng đối xứng qua BD .
Nên $\left( \text{BHKD} \right)$ và $\left( \text{O} \right)$ đối xứng qua BD .

Giải chi tiết

a) Ta có: BHDC là hình bình hành nên I là trung điểm HC .

Suy ra $\Delta IKH = \Delta IEC\left( {g - c - g} \right)$ nên $CE = HK$
Do đó $CEHK$ là hình bình hành.
Ta có: $IB \cdot IC = IA \cdot IE$.
Mà $IB = IC;IK = IE$ nên $IB^{2} = IA \cdot IK$.
b) Từ giả thuyết, suy ra $EF//BD$.

Nên $OI\bot EF$, do đo $IF = IE = IK$.
Suy ra, $\Delta KFE$ vuông tại F nên BD là trung trực KF .

c) Từ $IB^{2} = IA \cdot IK$ suy ra $\Delta IBK$ và $\Delta IAB$ đồng dạng $\left. \Rightarrow\dfrac{KB}{AB} = \dfrac{IB}{IA} \right.$.

Tương tự $ID^{2} = IA \cdot IK$ suy ra $\Delta IDK$ và $\Delta IAD$ đồng dạng $\left. \Rightarrow\dfrac{KD}{AD} = \dfrac{ID}{IA} \right.$.
Do đó: $\dfrac{KB}{AB} = \dfrac{KD}{AD}$.
Gọi J là chân đường phân giác trong AJ của tam giác ABC .
Ta có $\left. \dfrac{JB}{JD} = \dfrac{AB}{AD}\Rightarrow\dfrac{KB}{KD} = \dfrac{JB}{JD} \right.$. Suy ra KJ là phân giác góc $\angle BKD$ (đpcm).
d) Gọi L là giao điểm của AH và $\left( \text{O} \right)$.

Suy ra, L đối xứng với H qua BD , mà K và F cũng đối xứng qua BD .
Nên $\left( \text{BHKD} \right)$ và $\left( \text{O} \right)$ đối xứng qua BD .
Goi T' là tâm của đường tròn ( BHKD ), suy ra O và T ' đối xứng qua BD .
Mà $OI\bot BD$, nên I là trung điểm $\text{OT}^{\text{'}}$.
Do đó, OHT'C là hình bình hành, suy ra HT' // OC.
Mà $T'H = T'K$ nên $T'$ thuộc trung trực HK . Suy ra $T \equiv T'$.
Do tính đối xứng qua BD nên OKFT là hình thang cân nên cũng là tứ giác nội tiếp.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link