Cho các số nguyên dương $a_{1} < a_{2} < a_{3} < \ldots < a_{30} < a_{31}$. Người ta ghi tất

Câu hỏi số 798153:

Vận dụng

Cho các số nguyên dương $a_{1} < a_{2} < a_{3} < \ldots < a_{30} < a_{31}$. Người ta ghi tất cả các số này lên 31 chiếc thẻ, mỗi thẻ ghi một số.
a) Biết rằng tổng các số được ghi trên 16 thẻ bất kỳ trong số 31 thẻ trên luôn lớn hơn tổng các số được ghi trên 15 thẻ còn lại. Chứng minh $a_{1} \geq 226$.
b) Lấy $a_{1},a_{2},\ldots,a_{31}$ là 31 số nguyên dương đầu tiên: $1,2,\ldots,31$. Người ta bỏ 31 thẻ được ghi các số này vào hai chiếc hộp một cách ngẫu nhiện. Khi kiểm tra một hộp thì thấy rằng trong hộp đó không có hai thẻ nào có tổng hai số được ghi là số chính phương. Chứng minh trong hộp còn lại ta có thể chọn ra được bốn thẻ và chia chúng thành hai cặp sao cho tổng hai số được ghi trên mỗi cặp là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798153

Phương pháp giải

a) Từ giả thuyết $a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{16} > a_{17} + \ldots + a_{31}$

$\left. ~\Rightarrow a_{1} > \left( {a_{17} - a_{2}} \right) + \left( {a_{18} - a_{3}} \right) + \ldots + \left( {a_{31} - a_{16}} \right) \right.$

b) Xét ba thẻ ghi các số lần lượt là 6,19 và 30. Ta thấy rằng tổng 2 thẻ bất kỳ trong chúng hoặc là 25,36 hoặc 40, nên đều là các số chính phương.
Do chia các thẻ vào 2 hộp nên theo nguyên lý Dirichlet sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất 2 thẻ trong 3 thẻ trên nên tồng 2 thẻ đó là số chính phương.

Giải chi tiết

a) Từ giả thuyết $a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{16} > a_{17} + \ldots + a_{31}$

$\left. ~\Rightarrow a_{1} > \left( {a_{17} - a_{2}} \right) + \left( {a_{18} - a_{3}} \right) + \ldots + \left( {a_{31} - a_{16}} \right) \right.$

Do $\left. a_{17} \geq a_{16} + 1 \geq \ldots \geq a_{2} + 15\Rightarrow a_{17} - a_{2} \geq 15 \right.$
Tương tự $a_{18} - a_{3} \geq 15,\ldots,a_{31} - a_{16} \geq 15$
Suy ra : $\left. a_{1} > 15.15 = 225\Rightarrow a_{1} \geq 226 \right.$.
b) Xét ba thẻ ghi các số lần lượt là 6,19 và 30. Ta thấy rằng tổng 2 thẻ bất kỳ trong chúng hoặc là 25,36 hoặc 40 , nên đều là các số chính phương.
Do chia các thẻ vào 2 hộp nên theo nguyên lý Dirichlet sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất 2 thẻ trong 3 thẻ trên nên tồng 2 thẻ đó là số chính phương.
Loại 3 thẻ này, giả sử không còn hộp nào chứa hai thẻ mà tổng lại lá số chính phương.
Ta xét cụ thể, giả sử thẻ số 1 thuộc hộp thứ nhất, khi đó các thẻ $3,8,15,24$ sẽ thuộc hộp thứ hai.
Do thẻ ghi số 3 thuộc hộp thứ hai nên thẻ 13 sẽ thuộc hộp thứ nhất. Nên thẻ 12 sẽ thuộc hộp thứ hai.
Khi đó, trong hộp thứ hai này ta chọn thẻ 12 và 24 , tổng của chúng sẽ là số chính phuong (mâu thuẫn).
Vậy trong hộp còn lại này ta sẽ chọn được 4 thẻ thỏa mãn ycđb.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link