1) Giải phương trình $\sqrt{x^{2} + 3x + 1} + \sqrt{2x^{2} + 5x - 1} = \left( {x + 2} \right)\sqrt{2}$2) Giải

Câu hỏi số 798348:

Vận dụng

1) Giải phương trình $\sqrt{x^{2} + 3x + 1} + \sqrt{2x^{2} + 5x - 1} = \left( {x + 2} \right)\sqrt{2}$

2) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + y^{2} - 2x - 2 = 0} \\ {4x^{2} - 2y^{2} - 2xy + 6x - 3y + 2 = 0} \end{array} \right.$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798348

Phương pháp giải

1) $\sqrt{x^{2} + 3x + 1} + \sqrt{2x^{2} + 5x - 1} = \left( {x + 2} \right)\sqrt{2}$ (1)

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được

$3x^{2} + 8x + 2\sqrt{\left( {x^{2} + 3x + 1} \right)\left( {2x^{2} + 5x - 1} \right)} = 2x^{2} + 8x + 8$

$\left. \Leftrightarrow x^{2} - 8 + 2\sqrt{\left( {x^{2} + 3x + 1} \right)\left( {2x^{2} + 5x - 1} \right)} = 0 \right.$ (2)

Đặt $\left\{ {\begin{array}{l} {\sqrt{x^{2} + 3x + 1} = a} \\ {\sqrt{2x^{2} + 5x - 1} = b} \end{array}(a > 0,b \geq 0)} \right.$, phương trình (2) trở thành

$3b^{2} - 5a^{2} + 2ab = 0$

2) $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + y^{2} - 2x - 2 = 0} \\ {4x^{2} - 2y^{2} - 2xy + 6x - 3y + 2 = 0} \end{array} \right.\,\,\,\,\begin{matrix} {(1)} \\ {(2)} \end{matrix}$

Xét phương trình (2), ta có

$4x^{2} - 2y^{2} - 2xy + 6x - 3y + 2 = 0$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {2x - 2y + 1} \right)\left( {2x + y + 2} \right) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {y = \dfrac{2x + 1}{2}} \\ {y = - 2x - 2} \end{matrix} \right. \right.$

Giải chi tiết

1) $\sqrt{x^{2} + 3x + 1} + \sqrt{2x^{2} + 5x - 1} = \left( {x + 2} \right)\sqrt{2}$ (1)

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + 3x + 1 \geq 0} \\ {2x^{2} + 5x - 1 \geq 0} \end{array} \right.$$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \left\lbrack \begin{array}{l} {x \geq \dfrac{- 3 + \sqrt{5}}{2}} \\ {x \leq \dfrac{- 3 - \sqrt{5}}{2}} \end{array} \right. \\ \left\lbrack \begin{array}{l} {x \geq \dfrac{- 5 + \sqrt{33}}{2}} \\ {x \leq \dfrac{- 5 - \sqrt{33}}{2}} \end{array} \right. \end{array} \right. \right.$$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x \geq \dfrac{- 5 + \sqrt{33}}{2}} \\ {x \leq \dfrac{- 5 - \sqrt{33}}{2}} \end{array} \right. \right.$
Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được

$3x^{2} + 8x + 2\sqrt{\left( {x^{2} + 3x + 1} \right)\left( {2x^{2} + 5x - 1} \right)} = 2x^{2} + 8x + 8$

$\left. \Leftrightarrow x^{2} - 8 + 2\sqrt{\left( {x^{2} + 3x + 1} \right)\left( {2x^{2} + 5x - 1} \right)} = 0 \right.$ (2)

Đặt $\left\{ {\begin{array}{l} {\sqrt{x^{2} + 3x + 1} = a} \\ {\sqrt{2x^{2} + 5x - 1} = b} \end{array}(a > 0,b \geq 0)} \right.$, phương trình (2) trở thành

$3b^{2} - 5a^{2} + 2ab = 0$

$\left. \Leftrightarrow 5a^{2} - 2ab - 3b^{2} = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {a - b} \right)\left( {5a + 3b} \right) = 0 \right.$

Vì $a > 0,b \geq 0$ nên $5a + 3b > 0$, do đó $a = b$.
Tức là $\sqrt{x^{2} + 3x + 1} = \sqrt{2x^{2} + 5x - 1}$

$\left. \Leftrightarrow x^{2} + 3x + 1 = 2x^{2} + 5x - 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow x^{2} + 2x - 2 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {x = - 1 + \sqrt{3}} \\ {x = - 1 - \sqrt{3}} \end{matrix} \right. \right.$

Kết hợp điều kiện xác định và thử lại, ta có $x = - 1 + \sqrt{3}$ là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm $x = - 1 + \sqrt{3}$.

2) $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + y^{2} - 2x - 2 = 0} \\ {4x^{2} - 2y^{2} - 2xy + 6x - 3y + 2 = 0} \end{array} \right.\,\,\,\,\begin{matrix} {(1)} \\ {(2)} \end{matrix}$

Xét phương trình (2), ta có

$4x^{2} - 2y^{2} - 2xy + 6x - 3y + 2 = 0$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {2x - 2y + 1} \right)\left( {2x + y + 2} \right) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {y = \dfrac{2x + 1}{2}} \\ {y = - 2x - 2} \end{matrix} \right. \right.$

Trường hợp 1: $y = \dfrac{2x + 1}{2}$, thay vào (1) ta được

$x^{2} + \left( \dfrac{2x + 1}{2} \right)^{2} - 2x - 2 = 0$

$\left. \Leftrightarrow 4x^{2} + {(2x + 1)}^{2} - 8x - 8 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 8x^{2} - 4x - 7 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} \left. x = \dfrac{1 + \sqrt{15}}{4}\Rightarrow y = \dfrac{3 + \sqrt{15}}{4} \right. \\ \left. x = \dfrac{1 - \sqrt{15}}{4}\Rightarrow y = \dfrac{3 - \sqrt{15}}{4} \right. \end{matrix} \right. \right.$

Trường hợp 2: $y = - 2x - 2$, thay vào (1) ta được

$\left. x^{2} + {( - 2x - 2)}^{2} - 2x - 2 = 0\Leftrightarrow 5x^{2} + 6x + 2 = 0 \right.$ (vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {\dfrac{1 + \sqrt{15}}{4};\dfrac{3 + \sqrt{15}}{4}} \right);\left( {\dfrac{1 - \sqrt{15}}{4};\dfrac{3 - \sqrt{15}}{4}} \right)} \right\}$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link