Cho đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác nhọn $ABC(AB < AC)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$

Câu hỏi số 798349:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác nhọn $ABC(AB < AC)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ cắt đường thẳng $EF$ tại $K$. Gọi $H$ là giao điểm của đường thẳng $DI$ và đường thẳng $EF,N$ là giao điểm của đường thẳng $IA$ và đường thẳng $EF$. Đường thẳng $AH$ cắt đường thẳng $BC$ và đường thẳng $IK$ lần lượt tại $M$ và $P$.

1) Chứng minh $ANPK$ là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh $ID$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $PDK$.

3) Đường thẳng $BI$ cắt đường thẳng $EF$ tại $R$. Đường thẳng $IM$ cắt đường thẳng $DK$ tại điểm $T$ và đường thẳng $RC$ cắt đường thẳng $DK$ tại điểm $U$. Chứng minh bốn điểm $I,T,U,R$ nằm trên một đường tròn.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798349

Phương pháp giải

1) Xét tứ giác $ANPK$ có $\angle ANK = \angle APK = 90^{\circ}$ nên $ANPK$ là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh $\left. \Delta IDP \right.\sim\ \Delta IKD$
$\left. \Rightarrow\angle IDP = \angle IKD \right.$
$\left. \Rightarrow ID \right.$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $PDK$.

3) Chứng minh $\Delta BFR$~$\Delta BIC$

$\left. ~\Rightarrow\angle BRF = \angle BCI = \angle ACI \right.$

$\left. ~\Rightarrow IERC\ \right.$ nội tiếp

Gọi $T'$ là chân đường vuông góc hạ từ $I$ xuống $DU,M'$ là giao điểm của $IT'$ với $BC$.
Áp dụng hệ thức cạnh và đường cao vào $\Delta IDM'$ vuông tại $D$ có $DT'\bot IM'$:

$\left. IT' \cdot IM' = ID^{2} = IP \cdot IK\Leftrightarrow\dfrac{IT'}{IP} = \dfrac{IK}{IM'} \right.$

Chứng minh $PT'M'K$ nội tiếp.
$\left. \Rightarrow\angle M'PK = \angle M'T'K = 90^{\circ} \right.$
Mà $\angle MPK = 180^{\circ} - \angle APK = 90^{\circ}$ nên $\angle MPK = \angle M'PK$, suy ra $M \equiv M'$
$\left. \Rightarrow T \equiv T'\Rightarrow IM\bot DK = \left\{ T \right\}\Rightarrow\angle ITU = 90^{\circ} \right.$
Vì tứ giác $ITUR$ có $\angle ITU + \angle IRU = 180^{\circ}$ nên $ITUR$ nội tiếp hay bốn điểm $I,T,U,R$ nằm trên một đường tròn.

Giải chi tiết

1) Vì $ID\bot BC,AK \parallel BC$ nên $ID\bot AK$.

Ta có $\angle NAE + \angle NEA = \dfrac{\angle EAF}{2} + \dfrac{\angle AEF + \angle AFE}{2} = 90^{\circ}$ nên $AI\bot EF$ tại $N$.
Suy ra $KH\bot AI$ hay $\angle ANK = 90^{\circ}$.
Xét $\Delta AIK$ có $ID\bot AK,KH\bot AI$ nên $H$ là trực tâm $\Delta AIK$ nên $AP\bot IK$ hay $\angle APK = 90^{\circ}$
Xét tứ giác $ANPK$ có $\angle ANK = \angle APK = 90^{\circ}$ nên $ANPK$ là tứ giác nội tiếp.

2) Vì $\Delta AIF$ vuông tại $F$ có $FN\bot AI$ nên $IN \cdot IA = IF^{2} = ID^{2}$ (1)

Vì tứ giác $ANPK$ nội tiếp nên $\angle IPN = \angle IAK$.

Xét $\Delta IPN$ và $\Delta IAK$ có:

$\angle AIK$ chung

$\angle IPN = \angle IAK$

$\left. \Rightarrow\Delta IPN \right.\sim\ \Delta IAK$

$\left. ~\Rightarrow\dfrac{IP}{IN} = \dfrac{IA}{IK}\Rightarrow IP \cdot IK = IN \cdot IA \right.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left. ID^{2} = IP \cdot IK\Leftrightarrow\dfrac{ID}{IP} = \dfrac{IK}{ID} \right.$
Xét $\Delta IDP$ và $\Delta IKD$ có:

$\angle DIK$ chung

$\dfrac{ID}{IP} = \dfrac{IK}{ID}$

$\left. \Rightarrow\Delta IDP \right.\sim\ \Delta IKD$
$\left. \Rightarrow\angle IDP = \angle IKD \right.$
$\left. \Rightarrow ID \right.$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $PDK$.

3) Ta có $\angle BFR = \angle BFN = \dfrac{\angle BAC}{2} + 90^{\circ} = \angle BIC$

Xét $\Delta BFR$ và $\Delta BIC$ có:

$\angle FBR = \angle IBC$

$\angle BRF = \angle BCI$

Suy ra $\Delta BFR$~$\Delta BIC$

$\left. ~\Rightarrow\angle BRF = \angle BCI = \angle ACI \right.$

$\left. ~\Rightarrow IERC\ \right.$ nội tiếp

$\left. \Rightarrow\angle IRC = \angle IEC = 90^{\circ}\text{~hay~}RI\bot RC \right.$

$\left. \Rightarrow\angle IRU = 90^{\circ} \right.$

$\left. IT' \cdot IM' = ID^{2} = IP \cdot IK\Leftrightarrow\dfrac{IT'}{IP} = \dfrac{IK}{IM'} \right.$

Xét $\text{Δ}IT'P$ và $\text{Δ}IKM'$ có:

$\left. \left. \begin{matrix} {\ \angle KIM'\,\,\text{chung~}} \\ {\dfrac{IT'}{IP} = \dfrac{IK}{IM'}} \end{matrix} \right\}\Rightarrow\text{Δ}IT'P \right.\sim\text{Δ}IKM'$
$\left. \Rightarrow\angle IT'P = \angle IKM' \right.$
$\left. \Rightarrow PT'M'K \right.$ nội tiếp.
$\left. \Rightarrow\angle M'PK = \angle M'T'K = 90^{\circ} \right.$
Mà $\angle MPK = 180^{\circ} - \angle APK = 90^{\circ}$ nên $\angle MPK = \angle M'PK$, suy ra $M \equiv M'$
$\left. \Rightarrow T \equiv T'\Rightarrow IM\bot DK = \left\{ T \right\}\Rightarrow\angle ITU = 90^{\circ} \right.$
Vì tứ giác $ITUR$ có $\angle ITU + \angle IRU = 180^{\circ}$ nên $ITUR$ nội tiếp hay bốn điểm $I,T,U,R$ nằm trên một đường tròn.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link