1) Tìm các số nguyên dương $x$ và $y$ thỏa mãn $\text{lcm}\left( {x,y} \right) + 2 \cdot \text{gcd}\left(

Câu hỏi số 798457:

Vận dụng

1) Tìm các số nguyên dương $x$ và $y$ thỏa mãn $\text{lcm}\left( {x,y} \right) + 2 \cdot \text{gcd}\left( {x,y} \right) = 61$.
(Với $\text{lcm}\left( {a,b} \right),\text{gcd}\left( {a,b} \right)$ lần lượt là ký hiệu bội chung nhỏ nhất, ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương $a$ và $b$).

2) Tìm số nguyên tố $p$ để $n = 2^{p} + p^{2}$ là số nguyên tố.

3) Chứng minh rằng với mọi cách chọn 7 số bất kỳ trong 12 số nguyên dương đầu tiên, ta luôn tìm được hai số $a$ và $b$ trong 7 số đó sao cho $ab + 1$ là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798457

Phương pháp giải

1) Cần tìm $x,y \in {\mathbb{N}}^{*}$ thỏa mãn $1cm\left( {x,y} \right) + 2 \cdot gc\text{~d}\left( {x,y} \right) = 61(1)$.
Đặt $\left. d = \text{gcd}\left( {x,y} \right)\Rightarrow x = dm \right.$ và $y = dn$, với $m,n \in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$ sao cho $\text{gcd}\left( {m,n} \right) = 1$.
$\left. \Rightarrow\text{lcm}\left( {x,y} \right) = dmn \right.$.

2) Ta có $n = 2^{p} + p^{2}$, với $p$ là số nguyên tố.
Nếu $p = 3$ thì $n = 2^{3} + 3^{2} = 17$ là số nguyên tố.
Nếu $p = 2$ thì $n = 2^{2} + 2^{2} = 8$ không là số nguyên tố.

3) Gọi $A$ là tập hợp gồm 12 số nguyên dương đầu tiên, vậy $A$ được chia thānh 6 cặp số gồm $\left\{ {1;3} \right\},\left\{ {5;7} \right\},\left\{ {9;11} \right\},\left\{ {2;4} \right\},\left\{ {6;8} \right\},\left\{ {10;12} \right\}$.

Giải chi tiết

1) Tìm các số nguyên dương $x$ và $y$:
Cần tìm $x,y \in {\mathbb{N}}^{*}$ thỏa mãn $1cm\left( {x,y} \right) + 2 \cdot gc\text{~d}\left( {x,y} \right) = 61(1)$.
Đặt $\left. d = \text{gcd}\left( {x,y} \right)\Rightarrow x = dm \right.$ và $y = dn$, với $m,n \in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$ sao cho $\text{gcd}\left( {m,n} \right) = 1$.
$\left. \Rightarrow\text{lcm}\left( {x,y} \right) = dmn \right.$.
Vậy $\left. (1)\Leftrightarrow dmn + 2d = 61\Leftrightarrow d\left( {mn + 2} \right) = 61 \right.$
$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {d = 1} \\ {mn + 2 = 61} \end{array} \right. \right.$
(vì 61 là số nguyên tố, $d = \text{gcd}\left( {x,y} \right)$ nên $d \in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$ và do $m,n \in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$ nên $mn + 2 > 2$).
Vậy $\left. mn = 59\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m = 1} \\ {n = 59} \end{array} \right. \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} {m = 59} \\ {n = 1.} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = 1} \\ {y = 59} \end{array} \right. \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} {x = 59} \\ {y = 1.} \end{array} \right.$
Do đó các số nguyên dương cần tìm là $x = 1$ và $y = 59,x = 59$ và $y = 1$.

2) Tìm số nguyên tố $p$ để $n$ là số nguyên tố:
Ta có $n = 2^{p} + p^{2}$, với $p$ là số nguyên tố.
Nếu $p = 3$ thì $n = 2^{3} + 3^{2} = 17$ là số nguyên tố.
Nếu $p = 2$ thì $n = 2^{2} + 2^{2} = 8$ không là số nguyên tố.
Nếu số nguyên tố $p \geq 5$ thì $p = 2m + 1$, với $m \in {\mathbb{N}}$
$\left. \Rightarrow 2^{p} = 2^{2m + 1} = 2.4^{m} \right.$ có số dư bằng 2 trong phép chia cho 3 (vì $4^{m}$ có số dư bằng 1 trong phép chia cho $3,\forall m \in {\mathbb{N}}$), vì số nguyên tố $p \geq 5$ nên $p = 3k \pm 1$, với $k \in {\mathbb{N}}$
$\left. \Rightarrow p^{2} = {(3k \pm 1)}^{2} = 3\left( {3k^{2} \pm 2k} \right) + 1 \right.$ có số dư bằng 1 trong phép chia cho 3.
Vậy $n = \left( {2^{p} + p^{2}} \right) \vdots 3$ (do $p \geq 5$ ) hay $n$ không là số nguyên tố, với mọi số nguyên tố $p \geq 5$.
Do đó $p = 3$ thỏa mãn bài toán.

3) Chứng minh luôn tìm được hai số $a,b$:
Gọi $A$ là tập hợp gồm 12 số nguyên dương đầu tiên, vậy $A$ được chia thānh 6 cặp số gồm $\left\{ {1;3} \right\},\left\{ {5;7} \right\},\left\{ {9;11} \right\},\left\{ {2;4} \right\},\left\{ {6;8} \right\},\left\{ {10;12} \right\}$.
Nhận xét: Nếu $n$ là số nguyên dương thì $n\left( {n + 2} \right) + 1$ là số chính phương (vì $\left. {n\left( {n + 2} \right) + 1 = n^{2} + 2n + 1 = {(n + 1)}^{2}} \right)$.
$\left. \Rightarrow a \neq b \right.$ là hai số trong mỗi cặp số nói trên thì $ab + 1$ là số chính phương.

Theo nguyên lý Dirichlet, trong mọi cách chọn 7 số bất kỳ trong 12 số nguyên dương đầu tiên thì luôn tồn tại ít nhất 2 số thuộc một trong 6 cặp số đó. Áp dụng tính chất ở nhận xét trên ta có điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link