Cho tam giác nhọn $ABC$ (với $AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$, có đường cao $AD$. Tiếp

Câu hỏi số 798458:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn $ABC$ (với $AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$, có đường cao $AD$. Tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $B$ cắt đường trung trực đoạn thẳng $BD$ tại điểm $P$. Hai đường thẳng $DP$ và $AC$ cắt nhau tại điểm $E$.

1) Chứng minh tứ giác $ABDE$ nội tiếp đường tròn.

2) Gọi $Q$ là giao điểm của đường thẳng $AP$ và đường tròn $(O)$, với $Q$ khác $A$. Chứng minh $\angle PDQ = \angle PAD$.

3) Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $AD$ và đường tròn $(O)$, với $K$ khác $A$. Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $CQ$ và $DP$. Chứng minh ba điểm $B,I,K$ thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798458

Phương pháp giải

1) Chứng minh $\angle PDB = \angle BAE$.
Vậy tứ giác $ABDE$ nội tiếp đường tròn (vì có góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối nên hai góc đối bù nhau).

2) Chứng minh $\Delta DPQ \backsim \Delta APD$ (c-g-c)$\left. \Rightarrow\angle PDQ = \angle PAD \right.$.

3) Chứng minh tứ giác $BDIQ$ nội tiếp đường tròn.
$\left. \Rightarrow\angle QBI = \angle QDI \right.$ (hai góc nội tiếp có cùng cung bị chắn của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDIQ$).
Mà $\angle QDI = \angle PDQ = \angle PAD$ (chứng minh trên).
Mặt khác $\angle PAD = \angle QAK = \angle QBK$ (hai góc nội tiếp có cùng cung bị chắn của $(O))$.
Vậy $\angle QBI = \angle QBK$. Do đó ba điểm $B,I,K$ thẳng hàng.

Giải chi tiết

1) Ta có $PB = PD$ (vì P thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BD)
$\left. \Rightarrow\Delta PBD \right.$ cân tại $\left. P\Rightarrow\angle PDB = \angle PBD \right.$ hay $\angle PDB = \angle PBC$.
Mà $\angle PBC = \angle BAC$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp có cùng cung bị chắn của $(O)$).
Nên $\angle PDB = \angle BAC$ hay $\angle PDB = \angle BAE$.
Vậy tứ giác $ABDE$ nội tiếp đường tròn (vì có góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối nên hai góc đối bù nhau).

2) Ta có $\angle PBQ = \angle BAQ$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp có cùng cung bi chắn của $(O))$ hay $\angle PBQ = \angle BAP$.
Mà $\angle BPQ = \angle BPA$ (góc chung).
Vậy $\left. \Delta BPQ \backsim \Delta APB\left( {\text{g} - \text{g}} \right)\Rightarrow\dfrac{PB}{AP} = \dfrac{PQ}{PB} \right.$
$\left. \Leftrightarrow\dfrac{PD}{AP} = \dfrac{PQ}{PD} \right.$ (do $PB = PD$, chứng minh trên).
Mà $\angle DPQ = \angle APD$ (góc chung).
Vậy $\Delta DPQ \backsim \Delta APD$ (c-g-c)$\left. \Rightarrow\angle PDQ = \angle PAD \right.$.

3) Tứ giác $ABDE$ nội tiếp đường tròn $\left. \Rightarrow\angle BAE = \angle BDI \right.$ (vì cùng bù với $\angle BDE$) hay $\angle BAC = \angle BDI$.

Tứ giác $ABQC$ nội tiếp $\left. (O)\Rightarrow\angle BQC + \angle BAC = 180^{\circ} \right.$ hay $\angle BQI + \angle BAC = 180^{\circ}$

$\left. \Leftrightarrow\angle BQI + \angle BDI = 180^{\circ} \right.$.
$\Rightarrow$ tứ giác $BDIQ$ nội tiếp đường tròn.
$\left. \Rightarrow\angle QBI = \angle QDI \right.$ (hai góc nội tiếp có cùng cung bị chắn của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDIQ$).
Mà $\angle QDI = \angle PDQ = \angle PAD$ (chứng minh trên).
Mặt khác $\angle PAD = \angle QAK = \angle QBK$ (hai góc nội tiếp có cùng cung bị chắn của $(O))$.
Vậy $\angle QBI = \angle QBK$. Do đó ba điểm $B,I,K$ thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link