1) Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn hệ phương trình Conversion failed2) Cho $a,b,c$ là các

Câu hỏi số 798462:

Vận dụng

1) Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn hệ phương trình Conversion failed

2) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn điều kiện

$\left( {a + 2} \right)b^{2} + \left( {b + 2} \right)c^{2} + \left( {c + 2} \right)a^{2} \geq 8 + abc$

Chứng minh rằng $2\left( {ab + bc + ca} \right) \leq a^{2}\left( {a + b} \right) + b^{2}\left( {b + c} \right) + c^{2}\left( {c + a} \right)$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798462

Phương pháp giải

1) Vì $x,y$ có vai trò bình đẳng nên không mất tính tổng quát giả sử $x \geq y$.

Khi đó ta có ${(3x)}^{3} < 27x^{3} + 27x^{2} + 10y = {(x + 3z)}^{3} < {(3x + 2)}^{3}$

Do đó ta suy ra ${(x + 3z)}^{3} = {(3x + 1)}^{3}$ suy ra $x + 3z = 3x + 1$ và $10y = 9x + 1$.

2) Hoán vị vòng quanh $a,b,c$ thì bài toán không thay đổi nên không mất tính tổng quát, giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$. Ta có

$ab^{2} + bc^{2} + ca^{2} - abc$$~ \leq b\left( {a^{2} + c^{2}} \right)$

$~ \leq \dfrac{b^{2} + 1}{2}\left( {a^{2} + c^{2}} \right)$

$~ \leq \dfrac{1}{8}\left( {a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1} \right)^{2}$

Từ đây sử dụng giả thiết, ta suy ra được $2\left( {a^{2} + b^{2} + c^{2}} \right) + \dfrac{\left( {a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1} \right)^{2}}{8} \geq 8$

Giải chi tiết

1) Vì $x,y$ có vai trò bình đẳng nên không mất tính tổng quát giả sử $x \geq y$.

Khi đó ta có ${(3x)}^{3} < 27x^{3} + 27x^{2} + 10y = {(x + 3z)}^{3} < {(3x + 2)}^{3}$

Do đó ta suy ra ${(x + 3z)}^{3} = {(3x + 1)}^{3}$ suy ra $x + 3z = 3x + 1$ và $10y = 9x + 1$.

Điều này tương đương với $3z = 2x + 1$ và $10y = 9x + 1$.

Thay vào phương trình ( 2 ), ta có

${(3y)}^{3} < 27y^{3} + 27y^{2} + 10x = {(y + 3z)}^{3} = {(3y + 1)}^{3} + x - 1 < {(3y + 2)}^{3}.$

Do đó, ta suy ra $y + 3z = 3y + 1$ và $x = 1$ suy ra $y = 1$ và $z = 1$.
Vậy bộ số $\left( {x,y,z} \right)$ nguyên dương thoả mãn duy nhất là $\left( {1,1,1} \right)$.

2) Hoán vị vòng quanh $a,b,c$ thì bài toán không thay đổi nên không mất tính tổng quát, giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$. Ta có

$ab^{2} + bc^{2} + ca^{2} - abc$$~ \leq b\left( {a^{2} + c^{2}} \right)$

$~ \leq \dfrac{b^{2} + 1}{2}\left( {a^{2} + c^{2}} \right)$

$~ \leq \dfrac{1}{8}\left( {a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1} \right)^{2}$

Từ đây sử dụng giả thiết, ta suy ra được $2\left( {a^{2} + b^{2} + c^{2}} \right) + \dfrac{\left( {a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1} \right)^{2}}{8} \geq 8$

hay ta có $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 3$. Ngoài ra $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 = \left( {a^{2} + 1} \right) + \left( {b^{2} + 1} \right) + \left( {c^{2} + 1} \right) \geq 2\left( {a + b + c} \right)$

nên ta có $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a + b + c$

Lại có

$a^{2}\left( {a + b} \right) + b^{2}\left( {b + c} \right) + c^{2}\left( {c + a} \right)$

$~ \geq \dfrac{{(a\left( {a + b} \right) + b\left( {b + c} \right) + c\left( {c + a} \right))}^{2}}{2\left( {a + b + c} \right)}$

$~ = \dfrac{\left( {\left( {a^{2} + b^{2} + c^{2}} \right) + \left( {ab + bc + ca} \right)} \right)^{2}}{2\left( {a + b + c} \right)}$

$~ \geq \dfrac{4\left( {a^{2} + b^{2} + c^{2}} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)}{2\left( {a + b + c} \right)}$

$~ \geq 2\left( {ab + bc + ca} \right)$

Bất đẳng thức được chứng minh, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link