Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và dây cung $BC$ cố định không đi qua tâm $O$. Điểm $A$ di

Câu hỏi số 798467:

Vận dụng

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và dây cung $BC$ cố định không đi qua tâm $O$. Điểm $A$ di dộng trên $\left( {O;R} \right)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn và $AB \neq AC$. Các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $H$. Đường thẳng $EF$ cắt $\left( {O;R} \right)$ tại hai điểm $P$ và $Q$ (điểm $F$ nằm giữa hai điểm $P$ và $E$). Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Chứng minh:
a) $AP^{2} = AQ^{2} = AH \cdot AD$.
b) Bốn điểm $P,Q,M,D$ cùng thuộc một đường tròn $(\omega)$.
c) Tâm $I$ của đường tròn $(\omega)$ chạy trên một đường tròn cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798467

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta AFP \sim \Delta APB$, do đó $\left. \dfrac{AP}{AF} = \dfrac{AB}{AP}\Rightarrow AB \cdot AF = AP^{2} \right.$.

Từ (1) và (2) ta có: $SP.SQ = SD.SM$. Vậy bốn điểm $P,D,M,Q$ nằm trên cùng một đường tròn.

c) Chứng minh $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AO$. Suy ra $OI = \dfrac{1}{2}OA = \dfrac{1}{2}R$.
Vậy $I$ chạy trên đường tròn tâm $O$ bán kính $\dfrac{1}{2}R$.

Giải chi tiết

a) Do tứ giác $BCEF$ nội tiếp nên $\angle AFQ = \angle ACB$.
Suy ra sđ$AQ + \text{sđ}PB = \text{sd}AB$, tức là $cungAQ = cungAP$ (cung ở đây ta hiểu là cung nhỏ).
Vì thế $AP = AQ$.
Do $\Delta ADB \sim \Delta AFH$ nên $\left. \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AH}{AF}\Rightarrow AB \cdot AF = AD \cdot AH \right.$.
Xét hai tam giác $AFP$ và $APB$, ta có: $\angle FAP = \angle PAB;\angle APF = \angle ABP$ (do $AQ = AP$). Suy ra $\Delta AFP \sim \Delta APB$, do đó $\left. \dfrac{AP}{AF} = \dfrac{AB}{AP}\Rightarrow AB \cdot AF = AP^{2} \right.$.

Vậy $AP^{2} = AQ^{2} = AD \cdot AH$.
b) Gọi $S$ là giao điểm của đường thẳng $EF$ và $BC$. Do tứ giác $BCQP$ nội tiếp nên $\Delta SPB \backsim \Delta SCQ$, suy ra $\left. \dfrac{SB}{SP} = \dfrac{SQ}{SC}\Rightarrow SP.SQ = SB.SC \right.$.
Do tứ giác $BCEF$ nội tiếp nên $\Delta SBF \backsim \Delta SEC$, suy ra $\left. \dfrac{SB}{SF} = \dfrac{SE}{SC}\Rightarrow SB.SC = SF.SE \right.$.
Do đó $SP.SQ = SF.SE$ (1).
Do tam giác $CFM$ cân tại $M$ nên $\angle BMF = 2\angle BCF$.
Do tứ giác $BCEF$ nội tiếp nên $\angle FEB = \angle BCF$.
Do tứ giác $CDHE$ nội tiếp nên $\angle HED = \angle BCF$.
Suy ra $\angle DEF = \angle HED + \angle FEB = 2\angle BCF$. Do đó $\angle DMF = \angle BMF = \angle DEF$, suy ra bốn điểm $D,M,E,F$ nằm trên một đường tròn.
Do bốn điểm $D,M,E,F$ nằm trên một đường tròn nên $\Delta SDF \sim \Delta SEM$, suy ra

$\left. \dfrac{SD}{SF} = \dfrac{SE}{SM}\Rightarrow SF \cdot SE = SD \cdot SM \right.$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $SP.SQ = SD.SM$. Vậy bốn điểm $P,D,M,Q$ nằm trên cùng một đường tròn.

c) Do $AP = AQ$ nên $AO$ là đường trung trực của đoạn thẳng $PQ$. Mà $PQ$ là dây cung của đường tròn $(\omega)$ nên điểm $I$ nằm trên đường thẳng $AO$.
Do $DM$ là dây cung của đường tròn $(\omega)$ nên điểm $I$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $DM$.
Do tứ giác $ADMO$ là hình thang vuông với hai đáy là $OM,AD$ nên đường trung trực của đoạn thẳng $DM$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AO$.
Do đó $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AO$. Suy ra $OI = \dfrac{1}{2}OA = \dfrac{1}{2}R$.
Vậy $I$ chạy trên đường tròn tâm $O$ bán kính $\dfrac{1}{2}R$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link