Với $n \in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$, ta đặt $f(n)$ là tổng các chữ số của số $3n^{2} + n + 1$ (Ví

Câu hỏi số 798468:

Vận dụng

Với $n \in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$, ta đặt $f(n)$ là tổng các chữ số của số $3n^{2} + n + 1$ (Ví dụ: với $n = 3$ thì $3n^{2} + n + 1 = 31$ và $\left. {f(3) = 4} \right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $f(n)\left( {n \in {\mathbb{N}}^{\text{*}}} \right)$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798468

Phương pháp giải

Vì $3n^{2} + n + 1 = 2n^{2} + n\left( {n + 1} \right) + 1$ là số lẻ nên chữ số hàng đơn vị của nó khác 0 .
Mà $3n^{2} + n + 1 > 1$ nên $f(n) \geq 2$.

Giải chi tiết

Vì $3n^{2} + n + 1 = 2n^{2} + n\left( {n + 1} \right) + 1$ là số lẻ nên chữ số hàng đơn vị của nó khác 0 .
Mà $3n^{2} + n + 1 > 1$ nên $f(n) \geq 2$.
Nếu $f(n) = 2$ thì $3n^{2} + n + 1$ có dạng $\overline{10\cdots 01}$, trong đó chữ số đầu và chữ số cuối bằng 1 , các chữ số còn lại (nếu có) phải bằng 0 . Do đó $3n^{2} + n + 1 = 10^{k} + 1$ với $k$ nguyên dương $\left. \Rightarrow 3n^{2} + n = 10^{k}\Rightarrow n\left( {3n + 1} \right) = 10^{k} \right.$.

Vì $\left( {n;3n + 1} \right) = 1$ nên ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: $\left. n = 1,3n + 1 = 10^{k}\Rightarrow 4 = 10^{k} \right.$: Điều này là vô lí.
Trường hợp 2: $\left. n = 2^{k},3n + 1 = 5^{k}\Rightarrow 3 \cdot 2^{k} + 1 = 5^{k} \right.$.
Nếu $k = 1$ thì $3.2 + 1 = 5$: Điều này là vô lí.
Nếu $k \geq 2$ thì $5^{k} > 4^{k} = 2^{k} \cdot 2^{k} \geq 4 \cdot 2^{k} = 3 \cdot 2^{k} + 2^{k} > 3 \cdot 2^{k} + 1$ : Điều này là vô lí.
Vậy ta luôn có $f(n) > 2$, tức $f(n) \geq 3$. Mặt khác, ta có: $f(8) = 3$. Vì thế giá trị nhỏ nhất của $f(n)$ là 3 .

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link