Trên đường tròn đường kính $AB$, lấy các điểm $C$ và $D$ sao cho $BC = BD < \dfrac{1}{2}AB$. Gọi

Câu hỏi số 798808:

Vận dụng

Trên đường tròn đường kính $AB$, lấy các điểm $C$ và $D$ sao cho $BC = BD < \dfrac{1}{2}AB$. Gọi $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua đường thẳng $BC,AE$ cắt tia $CB$ tại $F$, cắt đường tròn $\left( {B,BC} \right)$ tạo $H\left( {H \neq E} \right),CH$ cắt $AB$ tại $I$.
a) Chứng minh $DC$ là tia phân giác của góc $ADE$.
b) Chứng minh năm điểm $B,D,F,H$ và $I$ cùng nằm trên một đường tròn.
c) $AD$ cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BFDH$ tại $J\left( {J \neq D} \right),JF$ cắt $CD$ tại $K$. Chứng minh $DH$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $JK$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798808

Phương pháp giải

Gọi $O$ là trung điểm $AB$, nên $O$ là tâm đường tròn đường kính $AB$.

a) Chứng minh $AC$ song song với $DE$ hay $\angle CDE = \angle ACD = \angle ADC$ do đó $DC$ là tia phân giác $\angle ADE$.

b) Chứng minh tứ giác IBFH nội tiếp. (5)
Và tứ giác $BHDF$ nội tiếp. (6)
Từ (5)(6) suy ra 5 điểm $I,B,F,D,H$ cùng thuộc một đường tròn.

c) Chứng minh $HD$ đi qua trung điểm $AC$.

Khi đó: $\left. \dfrac{JL}{AG} = \dfrac{DL}{DG} = \dfrac{LK}{GC}\Leftrightarrow LJ = LK \right.$. (theo định lý Thales và $JF$ song song với $AC$).

Vậy $HD$ đi qua trung điểm $JK$.

Giải chi tiết

Gọi $O$ là trung điểm $AB$, nên $O$ là tâm đường tròn đường kính $AB$.

a) Từ giả thiết $BC = BD$, nên $C,D$ đối xứng nhau qua $AB$. Mà $D,E$ đối xứng nhau qua $BC$ nên $CB$ vuông góc $DE$ (1)
Mặt khác $C,D$ thuộc đường tròn đường kính nên $\angle ACB = \angle ADB = 90^{\circ}$, hay $AC$ vuông góc $BC$ (2)
Từ (1)(2) suy ra $AC$ song song với $DE$ hay $\angle CDE = \angle ACD = \angle ADC$ do đó $DC$ là tia phân giác $\angle ADE$.

b) Ta có: $\angle ABC = \angle ADC$ (do cùng chắn cung $AC$ của $(O)$)

Mà do $DC$ là tia phân giác $\angle ADE$ nên $\angle ADC = \angle CDE = \angle CHE$.
Từ (3)(4), ta có tứ giác IBFH nội tiếp. (5)
Ta lại có: $\angle DBF = \angle DAC$ (do cùng bù với góc $\angle DBC$).
Mặt khác: $\angle DAC = 2\angle DAB = 2\angle DCB = 2\angle DCF = \angle DCE$ (do $D,E$ dối xứng qua $BC$).
Và $\angle DCE = \angle DHE$ (do cùng chắn cung $DE$ của đường tròn $\left( {B,BC} \right)$).
Suy ra $\angle DBF = \angle DAC = \angle DHE$ hay tứ giác $BHDF$ nội tiếp. (6)
Từ (5)(6) suy ra 5 điểm $I,B,F,D,H$ cùng thuộc một đường tròn.

c) Ta có: $\angle DJF = \angle DBF$ (do cùng chắn cung $DF$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BHDF$). Và $\angle DBF = \angle DAC$ (do cùng bù với góc $\angle DBC$). Suy ra $\angle DJF = \angle DAC$ hay $JF$ song song với $AC$.

Gọi $G,L$ là giao điểm của $HD$ và $AC,JK$. Ta thấy $GC$ vuông góc với $CB$ nên $GC$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $B$, bán kính $BC$. Hay $GC^{2} = GH$.GD. (7)

Mặt khác $\angle AHG = \angle DHE = \angle DAC$ (theo 6) với $\angle AGH$ chung nên $\Delta AGH \sim \Delta DGA$ (g.g) Suy ra: $\left. \dfrac{GA}{DG} = \dfrac{GH}{GA}\Leftrightarrow GA^{2} = GH.DG \right.$. (8)

Từ (7)(8) suy ra $\left. GC^{2} = GA^{2}\Leftrightarrow GC = GA \right.$. Như vậy $HD$ đi qua trung điểm $AC$.

Khi đó: $\left. \dfrac{JL}{AG} = \dfrac{DL}{DG} = \dfrac{LK}{GC}\Leftrightarrow LJ = LK \right.$. (theo định lý Thales và $JF$ song song với $AC$).

Vậy $HD$ đi qua trung điểm $JK$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link