a) Rút gọn biểu thức $P = \left( {\dfrac{x\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} + 2x - \sqrt{x} - 2} + \dfrac{2}{\sqrt{x} + 2}

Câu hỏi số 798818:

Vận dụng

a) Rút gọn biểu thức $P = \left( {\dfrac{x\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} + 2x - \sqrt{x} - 2} + \dfrac{2}{\sqrt{x} + 2} - \dfrac{1}{1 - \sqrt{x}}} \right):\left( {1 + \dfrac{2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x}}} \right)$ với $x > 0$ và $x \neq 1$.
b) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $(d):y = \left( {1 - m} \right)x + m^{2} - m$, với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho ba điểm $O,A,B$ tạo thành một tam giác cân (với $O$ là gốc tọa độ).
c) Cho phương trình $x^{2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 6m - 3 = 0$, với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn $\sqrt{\left( {x_{1}^{2} - x_{1} + 1} \right)^{2}} + \sqrt{x_{2} + 1} = x_{2}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798818

Phương pháp giải

a) Quy đồng và rút gọn.

b) Với $m = 1$, thì đường thẳng $(d)$ có phương trình: $y = 0$, thấy không thỏa mãn.
Với $m \neq 1$ ta có $(d)$ cắt trục hoành tại điểm $A\left( {m;0} \right)$ và cắt trục tung tại điểm $B\left( {0;m^{2} - m} \right)$.
Để ba điểm $O,A,B$ tạo thành một tam giác ta phải có $m \neq 0$, lúc đó tam giác $OAB$ luôn vuông tại $O$. Khi đó tam giác $OAB$ cân $\left. \Leftrightarrow OA = OB \right.$

c) Phương trình $x^{2} - 2\left( {3m - 1} \right)x + m^{2} - m - 4 = 0$

$\left. \Leftrightarrow\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2m + 1} \right) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 3} \\ {x = 2m - 1} \end{array} \right. \right.$.

Giải chi tiết

a) ĐK: $x > 0$ và $x \neq 1$.

$~P = \left\lbrack {\dfrac{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {x - \sqrt{x} + 1} \right)}{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 2} \right)} + \dfrac{2}{\sqrt{x} + 2} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}} \right\rbrack:\left( \dfrac{x + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}} \right)$

$~ = \left\lbrack {\dfrac{x - \sqrt{x} + 1}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 2} \right)} + \dfrac{2\left( {\sqrt{x} - 1} \right) + \sqrt{x} + 2}{\left( {\sqrt{x} + 2} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}} \right\rbrack:\left( \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \right)$

$~ = \dfrac{x + 2\sqrt{x} + 1}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 2} \right)} \cdot \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$

$~ = \dfrac{{(\sqrt{x} + 1)}^{2}}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 2} \right)} \cdot \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}.$

Vậy $P = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}.$

$\left. ~\Leftrightarrow|m| = \left| {m^{2} - m} \right| \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {m = 0} \\ {\left| {m - 1} \right| = 1} \end{matrix}\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {m = 0} \\ {m = 2} \end{matrix} \right. \right. \right.$

So sánh điều kiện $m = 2$.

c) Phương trình $x^{2} - 2\left( {3m - 1} \right)x + m^{2} - m - 4 = 0$

$\left. \Leftrightarrow\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2m + 1} \right) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 3} \\ {x = 2m - 1} \end{array} \right. \right.$.
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\left. x_{1},x_{2}\Leftrightarrow 2m - 1 \neq 3\Leftrightarrow m \neq 2\,\,(*) \right.$.
Biến đổi $\left. \sqrt{\left( {x_{1}^{2} - x_{1} + 1} \right)^{2}} + \sqrt{x_{2} + 1} = x_{2}\Leftrightarrow x_{1}^{2} - x_{1} + 1 + \sqrt{x_{2} + 1} - x_{2} = 0 \right.$ (1) vì $x_{1}^{2} - x_{1} + 1 = \left( {x_{1} - \dfrac{1}{2}} \right)^{2} + \dfrac{3}{4} > 0$

Trường hợp 1: $x_{1} = 2m - 1$ và $x_{2} = 3$. Thay vào (1), rút gọn ta được phương trình $2m^{2} - 3m + 1 = 0$
Giải phương trình $2m^{2} - 3m + 1 = 0$ ta được $m = 1$ và $m = \dfrac{1}{2}$ đều thỏa mãn điều kiện (*)

Trường hợp 2: $x_{1} = 3$ và $x_{2} = 2m - 1$. Thay vào (1), rút gọn ta được phương trình $\sqrt{2m} = 2m - 8$
Giải phương trình $\sqrt{2m} = 2m - 8$ với $m \geq 4$, ta được $m = \dfrac{17 + \sqrt{33}}{4}$ thỏa mãn điều kiện $\left( \text{*} \right)$ Vậy các giá trị cần tìm của $m$ là $m \in \left\{ {1;\dfrac{1}{2};\dfrac{17 + \sqrt{33}}{4}} \right\}$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link