a) Cho phương trình $x^{2} - 2mx + m^{2} + m = 0$, ($m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình đã cho có

Câu hỏi số 799019:

Vận dụng

a) Cho phương trình $x^{2} - 2mx + m^{2} + m = 0$, ($m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{4} + 8x_{1} = x_{2}^{2}\left( {2mx_{2} - m^{2} - m} \right) + 8x_{2}$.
b) Giải phương trình: $\sqrt{x + 3} + \sqrt{2 - x} + 5 = 4\sqrt{\left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right)}$.
c) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {xy + y\sqrt{y} - x\sqrt{x - 1} - \sqrt{xy - y} = 0} \\ {x^{2} - 4xy + 2x + 4y = \sqrt{x - 2y - 1} + 3.} \end{array} \right.$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:799019

Phương pháp giải

a) Áp dụng định lí Vi-ét.

b) Đặt $t = \sqrt{x + 3} + \sqrt{2 - x},\left( {t \geq 0} \right)$

$\left. ~\Rightarrow t^{2} = 5 + 2\sqrt{\left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right)} \right.$

$\left. ~\Rightarrow 2\sqrt{\left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right)} = t^{2} - 5 \right.$

Phương trình đã cho trở thành: $t + 5 = 2\left( {t^{2} - 5} \right)$

$\left. ~\Leftrightarrow 2t^{2} - t - 15 = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {t = 3\ (N)} \\ {t = \dfrac{- 5}{2}(L)} \end{matrix} \right. \right.$

c) Hệ phương trình tương đương $\left\{ \begin{array}{l} {xy + y\sqrt{y} - x\sqrt{x - 1} - \sqrt{y\left( {x - 1} \right)} = 0} \\ {x^{2} - 4xy + 2x + 4y = \sqrt{x - 2y - 1} + 3} \end{array} \right.\,\,\,\,\begin{matrix} {(1)} \\ {(2)} \end{matrix}$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} {x \geq 1} \\ {y \geq 0} \\ {x - 2y - 1 \geq 0} \end{array} \right.$
Xét phương trình (1): $xy + y\sqrt{y} - x\sqrt{x - 1} - \sqrt{y\left( {x - 1} \right)} = 0$

$\left. ~\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {x + \sqrt{y} = 0} \\ {y - \sqrt{x - 1} = 0} \end{matrix} \right. \right.$

Giải chi tiết

a) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$

$\left. \Leftrightarrow > 0\Leftrightarrow m^{2} - \left( {m^{2} + m} \right) > 0\Leftrightarrow m < 0. \right.$

Theo định lí Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 2m} \\ {x_{1} \cdot x_{2} = m^{2} + m} \end{array} \right.$
Vì $x_{2}$ là nghiệm của phương trình đã cho nên $x_{2}^{2} = 2mx_{2} - m^{2} - m$.
Ta có

$x_{1}^{4} + 8x_{1} = x_{2}^{2}\left( {2mx_{2} - m^{2} - m} \right) + 8x_{2}$

$\left. ~\Leftrightarrow x_{1}^{4} + 8x_{1} = x_{2}^{2} \cdot x_{2}^{2} + 8x_{2} \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {x_{1}^{4} - x_{2}^{4}} \right) + 8\left( {x_{1} - x_{2}} \right) = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {x_{1} - x_{2}} \right)\left\lbrack {\left( {x_{1} + x_{2}} \right)\left( {x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right) + 8} \right\rbrack = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {x_{1} = x_{2}(L)} \\ {\left( {x_{1} + x_{2}} \right)\left( {x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right) + 8 = 0} \end{matrix} \right. \right.$ (vì $x_{1} \neq x_{2}$)

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {x_{1} + x_{2}} \right)\left\lbrack {\left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}} \right\rbrack + 8 = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow 2m\left\lbrack {4m^{2} - 2\left( {m^{2} + m} \right)} \right\rbrack + 8 = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow m^{3} - m^{2} + 2 = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {m + 1} \right)\left( {m^{2} - 2m + 2} \right) = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{ll} {m = - 1} & \left( {TM} \right) \\ {m^{2} - 2m + 2 = 0} & {\left( {VN} \right).} \end{array} \right. \right.$

Vậy $m = - 1$ thỏa yêu cầu bài toán.

b) Điều kiện: $- 3 \leq x \leq 2$.

Đặt $t = \sqrt{x + 3} + \sqrt{2 - x},\left( {t \geq 0} \right)$

$\left. ~\Rightarrow t^{2} = 5 + 2\sqrt{\left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right)} \right.$

$\left. ~\Rightarrow 2\sqrt{\left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right)} = t^{2} - 5 \right.$

Phương trình đã cho trở thành: $t + 5 = 2\left( {t^{2} - 5} \right)$

$\left. ~\Leftrightarrow 2t^{2} - t - 15 = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {t = 3\ (N)} \\ {t = \dfrac{- 5}{2}(L)} \end{matrix} \right. \right.$

Với $t = 3$

$\left. ~\Leftrightarrow\sqrt{x + 3} + \sqrt{2 - x} = 3 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow 5 + 2\sqrt{\left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right)} = 9 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\sqrt{\left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right)} = 2 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow - x^{2} - x + 2 = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {x = 1\ (N)} \\ {x = - 2(N)} \end{matrix} \right. \right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {- 2;1} \right\}$.

$\left. ~\Leftrightarrow y\left( {x + \sqrt{y}} \right) - \sqrt{x - 1} \cdot \left( {x + \sqrt{y}} \right) = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {x + \sqrt{y}} \right)\left( {y - \sqrt{x - 1}} \right) = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {x + \sqrt{y} = 0} \\ {y - \sqrt{x - 1} = 0} \end{matrix} \right. \right.$

+) Với $x + \sqrt{y} = 0$ (phương trình này vô nghiệm vì $x \geq 1,y \geq 0$).

+) Với $\left. y - \sqrt{x - 1} = 0\Leftrightarrow y = \sqrt{x - 1}\Leftrightarrow x = y^{2} + 1 \right.$.

Thay $x = y^{2} + 1$ vào phương trình (2) ta được:

$\left( {y^{2} + 1} \right)^{2} - 4\left( {y^{2} + 1} \right)y + 2\left( {y^{2} + 1} \right) + 4y - \sqrt{y^{2} + 1 - 2y - 1} - 3 = 0$

$\left. ~\Leftrightarrow y^{4} - 4y^{3} + 4y^{2} - \sqrt{y^{2} - 2y} = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow y^{2}{(y - 2)}^{2} - \sqrt{y\left( {y - 2} \right)} = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\sqrt{y\left( {y - 2} \right)} \cdot \left\lbrack {{(\sqrt{y\left( {y - 2} \right)})}^{3} - 1} \right\rbrack = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {\sqrt{y\left( {y - 2} \right)} = 0} \\ {{(\sqrt{y\left( {y - 2} \right)})}^{3} - 1 = 0} \end{matrix} \right. \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {y = 0} \\ {y = 2} \\ {\sqrt{y\left( {y - 2} \right)} = 1} \end{array} \right. \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {y = 0} \\ {y = 2} \\ {y^{2} - 2y - 1 = 0} \end{matrix} \right. \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} \left. y = 0\Rightarrow x = 1\,\,(N) \right. \\ \left. y = 2\Rightarrow x = 5\ (N) \right. \\ \left. y = 1 + \sqrt{2}\Rightarrow x = 4 + 2\sqrt{2}(N) \right. \\ {y = 1 - \sqrt{2}(L)} \end{matrix} \right. \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $\left( {x;y} \right)$ là $\left( {1;0} \right),\left( {5;2} \right),\left( {4 + 2\sqrt{2};1 + \sqrt{2}} \right)$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link