a) Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^{2} - 2xy + 3y - x - 1 = 0$.b) Tìm các cặp số nguyên dương

Câu hỏi số 799020:

Vận dụng

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^{2} - 2xy + 3y - x - 1 = 0$.
b) Tìm các cặp số nguyên dương $\left( {a;b} \right)$ sao cho $\dfrac{a^{3}b - 1}{a + 1}$ và $\dfrac{b^{3}a + 1}{b - 1}$ đều là các số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:799020

Phương pháp giải

a) Phương trình trở thành $x^{2} - \left( {1 + 2y} \right)x + 3y - 1 = 0$
Xét $\text{Δ}_{x} = {(1 + 2y)}^{2} - 4\left( {3y - 1} \right) = 4y^{2} - 8y + 5$.
Để $x,y$ là các số nguyên thì $\text{Δ}_{x}$ phải là số chính phương

b) Ta có $\dfrac{a^{3}b - 1}{a + 1} = \dfrac{b\left( {a^{3} + 1} \right) - \left( {b + 1} \right)}{a + 1}$$= b\left( {a^{2} - a + 1} \right) - \dfrac{b + 1}{a + 1}$

Vì $\dfrac{a^{3}b - 1}{a + 1}$ là số nguyên nên $\left( {b + 1} \right) \vdots \left( {a + 1} \right)$
Ta có $\dfrac{b^{3}a + 1}{b - 1} = \dfrac{a\left( {b^{3} - 1} \right) + \left( {a + 1} \right)}{b - 1}$$= a\left( {b^{2} + b + 1} \right) + \dfrac{a + 1}{b - 1}$

Vì $\dfrac{b^{3}a + 1}{b - 1}$ là số nguyên nên $\left( {a + 1} \right) \vdots \left( {b - 1} \right)$

Giải chi tiết

$\left. ~\Leftrightarrow{(2y - 2)}^{2} - m^{2} = - 1 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {2y - 2 + m} \right)\left( {2y - 2 - m} \right) = - 1 \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} {2y - 2 + m = 1} \\ {2y - 2 - m = - 1} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {y = 1} \\ {m = 1.} \end{array} \right. \right.$
Với $y = 1$, thay vào phương trình đã cho ta được

$\left. x^{2} - 3x + 2 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 1} \\ {x = 2} \end{array} \right. \right.$

Vậy các bộ số $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn là $\left( {1;1} \right),\left( {2;1} \right)$.

b) Ta có

$\dfrac{a^{3}b - 1}{a + 1} = \dfrac{b\left( {a^{3} + 1} \right) - \left( {b + 1} \right)}{a + 1}$

$= \dfrac{b\left( {a + 1} \right)\left( {a^{2} - a + 1} \right) - \left( {b + 1} \right)}{a + 1}$

$= b\left( {a^{2} - a + 1} \right) - \dfrac{b + 1}{a + 1}$

Vì $\dfrac{a^{3}b - 1}{a + 1}$ là số nguyên nên $\left( {b + 1} \right) \vdots \left( {a + 1} \right)$ (1)
Ta có

$\dfrac{b^{3}a + 1}{b - 1} = \dfrac{a\left( {b^{3} - 1} \right) + \left( {a + 1} \right)}{b - 1}$

$= \dfrac{a\left( {b - 1} \right)\left( {b^{2} + b + 1} \right) + \left( {a + 1} \right)}{b - 1}$

$= a\left( {b^{2} + b + 1} \right) + \dfrac{a + 1}{b - 1}$

Vì $\dfrac{b^{3}a + 1}{b - 1}$ là số nguyên nên $\left( {a + 1} \right) \vdots \left( {b - 1} \right)$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\left( {b + 1} \right) \vdots \left( {b - 1} \right)$

$\left. \Rightarrow 2 \vdots \left( {b - 1} \right)\Rightarrow b \in \left\{ {2;3} \right\}. \right.$

Với $b = 2$, thay vào (1) ta được $\left. 3 \vdots \left( {a + 1} \right)\Rightarrow a = 2 \right.$.

Với $b = 3$, thay vào (1) ta được $\left. 4 \vdots \left( {a + 1} \right)\Rightarrow a \in \left\{ {1;3} \right\} \right.$.

Vậy các cặp số $\left( {a;b} \right)$ thỏa mãn điều kiện là $\left( {2;2} \right),\left( {1;3} \right),\left( {3;3} \right)$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link