Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB < AC$. Ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$ (với $D \in BC,E \in

Câu hỏi số 799021:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB < AC$. Ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$ (với $D \in BC,E \in AC,F \in AB$). Gọi $A_{1},B_{1}$ lần lượt là các điểm đối xứng với $H$ qua $D$ và $E;M$ là trung điểm của $BC$. Hai đường thẳng $EF$ và $BC$ cắt nhau tại điểm $P$.
a) Chứng minh các điểm $A,B,C,A_{1},B_{1}$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh $PE \cdot PF = PM \cdot PD$ và $H$ là trực tâm của tam giác $APM$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:799021

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\angle AB_{1}B = \angle BA_{1}A = \angle BCA$ suy ra các điểm $A,B,C,A_{1},B_{1}$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi $(O)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Kéo dài $AO$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $A'$ khác $A$.

Chứng minh $Q,H,M,A'$ thẳng hàng do đó $MH\bot AP$.

Mặt khác $AH\bot BC$ (giả thiết) nên $H$ là trực tâm tam giác $APM$.

Giải chi tiết

a) Ta có $\angle ACB = \angle AHE$ (cùng phụ $\angle HAE) = \angle AB_{1}B$ ($H$ đối xứng với $B_{1}$ qua $AC$)
$\angle BHD = \angle AHE$ (đối đỉnh) $= \angle BA_{1}A$ (vì $A_{1}$ đối xứng với $H$ qua $BC$)
Do đó $\angle AB_{1}B = \angle BA_{1}A = \angle BCA$
suy ra các điểm $A,B,C,A_{1},B_{1}$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có $\left. \angle AFH + \angle AEH = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}\Rightarrow AEHF \right.$ nội tiếp.
Tương tự các tứ giác $AFDC,EHDC$ nội tiếp.
Ta có tứ giác $BFEC$ nội tiếp đường tròn tâm $\left. M\Rightarrow MF = MC \right.$.
Hơn nữa $\angle DMF = \angle MFC + \angle MCF = 2.\angle MCF$ (do tam giác $MFC$ cân tại $M$) (1).
Mặt khác $\angle DCF = \angle FAD = \angle FEH($do $AFDC,AFHE$ nội tiếp$)(2)$.
Vì tứ giác $HDCE$ nội tiếp nên $\angle HED = \angle HCD$ (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra $\angle FMD = \angle FED$.
Từ đó dẫn tới hai tam giác $PFM$ và $PDE$ đồng dạng (g.g vì $\angle FPD$ chung và $\angle PED = \angle PMF)$
suy ra $\left. \dfrac{PF}{PD} = \dfrac{PM}{PE}\Rightarrow PF \cdot PE = PM \cdot PD \right.$.

Gọi $(O)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Kéo dài $AO$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $A'$ khác $A$.

Xét tứ giác $BHCA'$ có $BH \parallel A'C$ (cùng vuông góc với $AC$), tương tự $CH \parallel BA'$ (cùng vuông góc với $AB$) do đó tứ giác $BHCA'$ là hình bình hành suy ra $A',M,H$ thẳng hàng (4). Gọi $Q$ là giao điểm của $PA$ với đường tròn $\left. (O)\Rightarrow\angle A'QA = 90^{\circ} \right.$ (vì $AA'$ là đường kính của đường tròn $(O)$).
Ta có $PD \cdot PM = PE \cdot PF$ (theo chứng minh trên)
Hơn nữa $PE \cdot PF = PB \cdot PC$ (vì $EFBC$ nội tiếp $P$ là giao điểm của $BC$ và $EF$) và $PB \cdot PC = PQ \cdot PA$ (vì $AQBC$ nội tiếp và $P$ là giao điểm của $BC$ và $AQ$) suy ra $PD \cdot PM = PQ \cdot PA$ suy ra tứ giác $MDQA$ nọi tiếp.
Từ đó suy ra $\angle MQA = \angle MDA = 90^{\circ}$. Từ đó suy ra $A',M,Q$ thẳng hàng (5).
Từ (4),(5) suy ra $Q,H,M,A'$ thẳng hàng do đó $MH\bot AP$.

Mặt khác $AH\bot BC$ (giả thiết) nên $H$ là trực tâm tam giác $APM$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link