Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB < AC$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Đường

Câu hỏi số 799025:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB < AC$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Đường thẳng $AO$ cắt $BC$ tại $E$. Trên đoạn $AO$ lấy điểm $D$ sao cho $OD = OE$. Đường đi thẳng qua $D$, vuông góc với $BC$ cắt $BC,AC,AB$ lần lượt tại $X,Y,Z$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AYZ$ cắt lại $(O)$ tại điểm $T$ khác $A$. Chứng minh rằng:
a) Tam giác $OXE$ là tam giác cân.
b) Bốn điểm $C,X,Y,T$ cùng thuộc một đường tròn.
c) $BX = CE$
d) $AT//BC$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:799025

Phương pháp giải

a) Chứng minh $XO = OD = OE$, suy ra tam giác $OXE$ là tam giác cân tại $O$
b) Tứ giác $CXYT$ có $\angle CXY + \angle YTC = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ nên là tứ giác nội tiếp, suy ra đpcm
c) Hai tam giác $OBC$ và $XOE$ là hai tam giác cân tại $O$; kẻ $OG\bot BC\left( {G \in BC} \right)$ thì $OG$ là đường trung trực chung của $BC$ và $XE$; do đó $GB = GC;GX = GE$ suy ra $\left. GB - GX = GC - GE\Rightarrow BX = CE \right.$
d) Kẻ đường kính $CF$ của đường tròn $(O)$

Chứng minh $\left. \angle TXC = \angle BZT\Rightarrow \right.$ tứ giác $BXTZ$ là tứ giác nội tiếp, khi đó $\angle TAE = \angle AZT = \angle TXE = \angle AEX$, mà $\angle TAE$ và $\angle AEX$ là hai góc ở vị trí so le trong nên $AT//BC$

Giải chi tiết

a) Trong tam giác vuông $XDE$ vuông tại $X$ có $OD = OE$ nên $XO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, do đó $XO = OD = OE$, suy ra tam giác $OXE$ là tam giác cân tại $O$
b) Ta có

$\angle~YTC = \angle ATC - \angle ATY = \angle ATC - \angle AZX$

$= 180^{\circ} - \angle ABC - \angle AZX$

$~ = 180^{\circ} - \left( {\angle ABC + \angle AZX} \right) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$

Tứ giác $CXYT$ có $\angle CXY + \angle YTC = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ nên là tứ giác nội tiếp, suy ra đpcm
c) Hai tam giác $OBC$ và $XOE$ là hai tam giác cân tại $O$; kẻ $OG\bot BC\left( {G \in BC} \right)$ thì $OG$ là đường trung trực chung của $BC$ và $XE$; do đó $GB = GC;GX = GE$ suy ra $\left. GB - GX = GC - GE\Rightarrow BX = CE \right.$
d) Kẻ đường kính $CF$ của đường tròn $(O)$

+) $\angle OAC = \angle OCA = 90^{\circ} - \angle AFC = 90^{\circ} - \angle ABC = \angle AZY$ suy ra $AO$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AZTY

+) Có $\angle TXC = \angle TYC$ (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung $TC$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $CXYT$)
+) $\angle TYC = 180^{\circ} - \angle TYA = \angle BZT$
Suy ra $\left. \angle TXC = \angle BZT\Rightarrow \right.$ tứ giác $BXTZ$ là tứ giác nội tiếp, khi đó $\angle TAE = \angle AZT = \angle TXE = \angle AEX$, mà $\angle TAE$ và $\angle AEX$ là hai góc ở vị trí so le trong nên $AT//BC$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link