Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Điểm $M$ (khác $A,B$) nằm trên nửa đường tròn.
Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Điểm $M$ (khác $A,B$) nằm trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại $M$ cắt tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của đường tròn $(O)$ lần lượt tại $C$ và $D$.
a) Chứng minh $ACMO$ là tứ giác nội tiếp
b) Gọi $P$ là giao điểm $CD$ và $AB$. Chứng minh $PA \cdot PO = PC \cdot PM$
c) Gọi $E$ là giao điểm của $AM$ và $BD,\ F$ là giao điểm của $AC$ và $BM$. Chứng minh $E,F,P$ thẳng hàng
Quảng cáo
a) Chứng minh bốn điểm C, M, O, A cùng nằm trên một đường tròn
Vậy tứ giác ACMO là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh $\Delta PAC \sim \Delta PMO$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{PA}{PC} = \dfrac{PM}{PO} \right.$ (2 cạnh tương ứng)
Vậy $PA \cdot PO = PC \cdot PM$ (đpcm)
c) Gọi K là giao điểm của PF và BD
Ta cần chứng minh K trùng với E
Chứng minh $\dfrac{FC}{DK} = \dfrac{PC}{PD}$ (1); $\dfrac{PC}{PD} = \dfrac{AC}{BD}$ (2); $\left. \dfrac{DB}{DE} = \dfrac{AC}{CF}\Rightarrow\dfrac{AC}{BD} = \dfrac{FC}{DE} \right.$ (3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra $\left. \dfrac{CF}{DK} = \dfrac{PC}{PD} = \dfrac{AC}{BD} = \dfrac{FC}{DE}\Rightarrow\dfrac{FC}{DK} = \dfrac{FC}{DE}\Rightarrow DK = DE \right.$
Mà E, K đều thuộc DB nên điểm E trùng với điểm K
Vậy E, F, P là 3 điểm thẳng hàng (đpcm)
a) Theo giả thiết $\angle CAO = 90^{{^\circ}}$ và $\angle CMO = 90^{{^\circ}}$
+) $\angle CAO = 90^{{^\circ}}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính CO
+) $\angle CMO = 90^{{^\circ}}$là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính CO
$\Rightarrow$ Bốn điểm C, M, O, A cùng nằm trên một đường tròn
Vậy tứ giác ACMO là tứ giác nội tiếp.
b) Xét $\Delta PAC$ và $\Delta PMO$, ta có:
- $\angle CPA$ chung
- $\angle CAP = \angle PMO = 90^{{^\circ}}$ (gt)
$\left. \Rightarrow\Delta PAC \sim \Delta PMO \right.$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{PA}{PC} = \dfrac{PM}{PO} \right.$ (2 cạnh tương ứng)
Vậy $PA \cdot PO = PC \cdot PM$ (đpcm)
c) Gọi K là giao điểm của PF và BD
Ta cần chứng minh K trùng với E
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
$CA = CM,DM = DB$
Mà $\angle AMB$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB
$\Rightarrow$$\left. \angle AMB = 90^{{^\circ}}\Rightarrow\angle EMB = 90^{{^\circ}} \right.$
$\Rightarrow$ Tam giác EMB vuông tại M
$\left. \Rightarrow DM = DB = DE \right.$ (theo tính chất đường trung tuyến trong tam giac vuông)
Ta có: $\left. \left. \begin{array}{l} {AF\bot AB} \\ {EB\bot AB} \end{array} \right\}\Rightarrow AF//EB \right.$
Trong $\Delta KPD$ có $FC//DK\ (K \in PK,C \in PD)$, ta có: $\dfrac{FC}{DK} = \dfrac{PC}{PD}$ (1) (theo định lí về hai tam giác đồng dạng)
Trong $\Delta PDB$ có $AC//BD\ (C \in PD,A \in PB)$, ta có $\dfrac{PC}{PD} = \dfrac{AC}{BD}$ (2)
Ta có $MC = CA$ và $\left. \angle FMA = 90^{{^\circ}}\Rightarrow\Delta FMA \right.$ vuông tại M có MC là đường trung tuyến
$\left. \Rightarrow MC = FC = CA \right.$ (theo tính chất đường trung tuyến trong tam giac vuông)
$\left. \Rightarrow\dfrac{DB}{DE} = \dfrac{AC}{CF}\Rightarrow\dfrac{AC}{BD} = \dfrac{FC}{DE} \right.$ (3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra $\left. \dfrac{CF}{DK} = \dfrac{PC}{PD} = \dfrac{AC}{BD} = \dfrac{FC}{DE}\Rightarrow\dfrac{FC}{DK} = \dfrac{FC}{DE}\Rightarrow DK = DE \right.$
Mà E, K đều thuộc DB nên điểm E trùng với điểm K
Vậy E, F, P là 3 điểm thẳng hàng (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
