Cho đường tròn $(O)$ cố định. Từ một điểm $A$ cố định ở bên ngoài đường tròn $(O)$,
Cho đường tròn $(O)$ cố định. Từ một điểm $A$ cố định ở bên ngoài đường tròn $(O)$, dựng các tiếp tuyến $AM$ và $AN$ với đường tròn ($M,N$ là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua $A$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $B$ và $C$ ($B$ nằm giữa $A$ và $C$). Gọi $I$ là trung điểm của $BC$)
a) Chứng minh $AMON$ là tứ giác nội tiếp
b) Gọi $K$ là giao điểm của $MN$ và $BC$. Chứng minh $AK \cdot AI = AB \cdot AC$
c) Xác định vị trí của cát tuyến $ABC$ để $IM = 2 \cdot IN$
Quảng cáo
a) Chứng minh A, M, O, N cùng nằm trên một đường tròn đường kính AO.
Vậy tứ giác AMON là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh $\Delta AMB \sim \Delta ACM$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AC}{AM}\Rightarrow AB \cdot AC = AM^{2} \right.$ (1)
Chứng minh $\Delta AKM \sim \Delta AMI$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{AK}{AM} = \dfrac{AM}{AI}\Rightarrow AK \cdot AI = AM^{2} \right.$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $AK \cdot AI = AB \cdot AC$.
c) Chứng minh $\dfrac{IM}{IN} = \dfrac{KM \cdot NA}{KN \cdot MA}$
Mà $AM = AN$ (cmt) nên $\dfrac{IM}{IN} = \dfrac{KM}{KN}$
Để $IM = 2IN$ thì ta dựng cát tuyến ABC cắt MN tại K sao cho $KM = 2KN$.
a) Vì AM, AN là các tiếp tuyến của (O) nên ta có:
$\angle AMO = 90^{{^\circ}}$, $\angle ANO = 90^{{^\circ}}$
+ $\angle AMO = 90^{{^\circ}}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AO
+ $\angle ANO = 90^{{^\circ}}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AO
$\Rightarrow$ Bốn điểm A, M, O, N cùng nằm trên một đường tròn.
Vậy tứ giác AMON là tứ giác nội tiếp.
b) Ta thấy $OM = OB$ nên $\Delta OMB$ cân tại O$\left. \Rightarrow\angle BMO = \angle MBO \right.$
$\left. \Rightarrow\angle AMB = 90^{{^\circ}} - \angle BMO = 90^{{^\circ}} - \dfrac{180^{{^\circ}} - \angle MOB}{2} = 90^{{^\circ}} - 90^{{^\circ}} + \dfrac{\angle MOB}{2} = \dfrac{\angle MOB}{2} \right.$
Mà $\angle MCB = \dfrac{1}{2}\angle MOB$ (góc nội tiếo và góc ở tâm cùng chắn cung MB trong (O)
$\left. \Rightarrow\angle AMB = \angle MCB \right.$
Xét $\Delta AMB$ và $\Delta ACM$, ta có:
- $\angle AMB = \angle ACM$ (chứng minh trên)
- $\angle MAB$ chung
$\left. \Rightarrow\Delta AMB \sim \Delta ACM \right.$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AC}{AM}\Rightarrow AB \cdot AC = AM^{2} \right.$ (1)
Ta có $\left. OB = OC\Rightarrow\Delta OCB \right.$cân tại O
$OI$ là đường trung tuyến của $\Delta OCB$ cân tại O (theo gt)
$OI$ đồng thời là đường cao của $\Delta OCB$
$OI\bot BC$ hay $AIO = 90^{{^\circ}}$
$\left. \Rightarrow\Delta AIO \right.$ vuông tại I.
$\left. \Rightarrow\Delta AIO \right.$ nội tiếp đường tròn đường kính OA
I thuộc đường tròn đường kính OA (cùng với A, M, O, N)
$\left. \Rightarrow\angle AIM = \angle AOM \right.$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $AM = AN$
$\left. \Rightarrow\Delta AMN \right.$ cân tại A
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau $\left. \Rightarrow\angle MAO = \angle NAO \right.$
$\left. \Rightarrow AO \right.$ là đường phân giác, đồng thời là đường cao trong $\Delta AMN$ cân tại A
$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow OA\bot MN \right. \\ \left. \Rightarrow\angle AOM + \angle NMO = 90^{{^\circ}} \right. \end{array}$
Mà $\angle AMK + \angle KMO = \angle AMK + \angle MMO = 90^{\circ}$ (gt)
$\left. \Rightarrow\angle AOM = \angle AMK\ \right.$
Mà $\angle AOM = \angle AIM$ (cmt) nên $\angle AMK = \angle AIM$
Xét $\Delta AKM$ và $\Delta AMI$, ta có:
- $\angle MAK$ chung
- $\angle AIM = \angle AMK$(cmt)
$\left. \Rightarrow\Delta AKM \sim \Delta AMI \right.$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{AK}{AM} = \dfrac{AM}{AI}\Rightarrow AK \cdot AI = AM^{2} \right.$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $AK \cdot AI = AB \cdot AC$.
c) Xét $\Delta KIN$ và $\Delta KMA$, ta có:
- $\angle AKM = \angle NKI$ (2 góc đối đỉnh)
- $\angle AIN = \angle AMN$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AN trong đường tròn đường kính OA)
$\left. \Rightarrow\Delta KIN \sim \Delta KMA \right.$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{KN}{IN} = \dfrac{KA}{MA}\Rightarrow IN = \dfrac{KN \cdot MA}{KA} \right.$ (3)
Xét $\Delta KIM$và $\Delta KNA$, ta có:
- $\angle AKN = \angle IKM$ (2 góc đối đỉnh)
- $\angle NAI = \angle NMI\ $( góc nội tiếp cùng chắn cung NI trong đường tròn đường kính OA)
$\left. \Rightarrow\Delta KIM \sim \Delta KNA \right.$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{KM}{IM} = \dfrac{KA}{NA}\Rightarrow IM = \dfrac{KM \cdot NA}{KA} \right.$ (4)
Theo (3) và (4) ta có:
$\dfrac{IM}{IN} = \dfrac{KM \cdot NA}{KA}:\dfrac{KN \cdot MA}{KA} = \dfrac{KM \cdot NA}{KA} \cdot \dfrac{KA}{KN \cdot MA} = \dfrac{KM \cdot NA}{KN \cdot MA}$
Mà $AM = AN$ (cmt) nên $\dfrac{IM}{IN} = \dfrac{KM}{KN}$
Để $IM = 2IN$ thì ta dựng cát tuyến ABC cắt MN tại K sao cho $KM = 2KN$.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
