Cho tam giác $ABC(AB < AC)$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$. Đường thẳng qua

Câu hỏi số 801946:

Vận dụng

Cho tam giác $ABC(AB < AC)$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$. Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $BC$cắt $AC$ tại $D$.

a) Chứng minh tứ giác $ABOD$ nội tiếp

b) Tiếp tuyến tại điểm $A$ với đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $P$ sao cho $PB = BO = 2~\text{cm}$. Tính độ dài đoạn thẳng $PA$và tìm số đo $\angle APC$

c) Chứng minh $\dfrac{PB}{PC} = \dfrac{AB^{2}}{AC^{2}}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:801946

Phương pháp giải

a) Chứng minh các điểm B, A, D, O cùng nằm trên một đường tròn đường kính BD.

Vậy tứ giác ABOD là tứ giác nội tiếp.

b) Áp dụng định lí Pythagore vào $\Delta PAO$ vuông tại A , ta có $PA = \sqrt{PO^{2} - AO^{2}}$

Chứng minh $\Delta OAB$ đều nên $\angle AOP = 60^{\circ}$

$\left. \Rightarrow\angle APC = \angle APO = 90^{{^\circ}} - \angle AOP \right.$

c) Chứng minh $\Delta PAB \sim \Delta PCA$ (g.g)

$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow\dfrac{PA}{PC} = \dfrac{PB}{PA} = \dfrac{AB}{AC} \right. \\ \left. \Rightarrow\dfrac{AB^{2}}{AC^{2}} = \dfrac{PA^{2}}{PC^{2}} \right. \end{array}$

Mà $PA^{2} = PB \cdot PC$ nên $\dfrac{AB^{2}}{AC^{2}} = \dfrac{PB \cdot PC}{PC^{2}} = \dfrac{PB}{PC}$

Giải chi tiết

a) Theo giả thiết, $\left. \angle DOB = 90^{{^\circ}}\Rightarrow\Delta OBD \right.$ vuông tại O và nội tiếp đường tròn đường kính BD (1)

Theo giả thiết, $\angle BAC$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC

$\left. \Rightarrow\angle BAC = \angle BAD = 90^{{^\circ}} \right.$

$\left. \Rightarrow\Delta ABD \right.$ vuông tại A và nội tiếp đường tròn đường kính BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra các điểm B, A, D, O cùng nằm trên một đường tròn

Vậy tứ giác ABOD là tứ giác nội tiếp.

b) Theo giải thiết, PA là tiếp tuyến của đường tròn (O)

$\left. \Rightarrow\angle PAO = 90^{{^\circ}}\Rightarrow\Delta PAO \right.$ vuông tại A

Mà $PB = BO = 2~\text{cm}$ nên AB là trung tuyến của $\Delta PAO$

$\left. \Rightarrow PB = AB = BO = \dfrac{1}{2}PO \right.$ (theo tính chất của đường trung tuyến rong tam giác vuông)

Mà $\left. OB = OA(gt)\Rightarrow OA = OB = AB\Rightarrow\Delta OAB \right.$ đều

Trong $\Delta PAO$ vuông tại A có $OA = 2~\text{cm},PO = 4~\text{cm}$

Áp dụng định lí Pythagore vào $\Delta PAO$ vuông tại A , ta có

$PA = \sqrt{PO^{2} - AO^{2}} = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = 2\sqrt{3}(~\text{cm})$

Vì $\Delta OAB$ đều nên $\angle AOP = 60^{\circ}$

$\left. \Rightarrow\angle APC = \angle APO = 90^{{^\circ}} - \angle AOP = 90^{{^\circ}} - 60^{{^\circ}} = 30^{{^\circ}} \right.$ (Vì $\Delta PAO$ vuông tại A )

Vậy $PA = 2\sqrt{3}(~\text{cm}),\angle APC = 30^{{^\circ}}$.

c) Ta có : $\angle PAB + \angle BAO = \angle PAO = 90^{{^\circ}}$

$\left. \Rightarrow\angle PAB = 90^{{^\circ}} - \angle BAO = 90^{{^\circ}} - 60^{{^\circ}} = 30^{{^\circ}} \right.$

Mà $\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB = \dfrac{1}{2} \cdot 60^{{^\circ}} = 30^{{^\circ}}$ (Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AB)

$\left. \Rightarrow\angle ACB = \angle PAB \right.$

Xét $\Delta PAB$ và $\Delta PCA$, ta có:

- $\angle APB$ chung

- $\angle ACB = \angle PAB$ (chứng minh trên)

$\left. \Rightarrow\Delta PAB \sim \Delta PCA \right.$ (g.g)

$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow\dfrac{PA}{PC} = \dfrac{PB}{PA} = \dfrac{AB}{AC} \right. \\ \left. \Rightarrow\dfrac{AB^{2}}{AC^{2}} = \dfrac{PA^{2}}{PC^{2}} \right. \end{array}$

Mà $PA^{2} = PB \cdot PC$ nên $\dfrac{AB^{2}}{AC^{2}} = \dfrac{PB \cdot PC}{PC^{2}} = \dfrac{PB}{PC}$

Vậy $\dfrac{AB^{2}}{AC^{2}} = \dfrac{PB}{PC}$ (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link