Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD$ và $BE$ của
Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD$ và $BE$ của tam giác $ABC$cắt nhau tại $H$. Gọi $K$ là trung điểm của $AH$. Đường thẳng vuông góc với $BK$ tại $K$ cắt $AC$ tại $N$.
a) Chứng minh $CDHE$ và $BKEN$ là các tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh $\angle ECB = \angle KNB$. Từ đó suy ra $\dfrac{BK}{BN} = \dfrac{BE}{BC}$
c) Dựng đường kính $BM$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh $AB \cdot MN = AK \cdot MB$
Quảng cáo
a) Chứng minh các điểm C, E, H, D cùng nằm trên một đường tròn
Vậy CDHE là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh các điểm B, K, E, N cùng nằm trên một đường tròn
Vậy BKEN là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh $\Delta BKN \sim \Delta BEC$ (g.g)
Vậy $\dfrac{BK}{BN} = \dfrac{BE}{BC}$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm)
c) Chứng minh $\Delta BEC \sim \Delta BAM$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{BE}{BC} = \dfrac{BA}{BM} \right.$ (hai cạnh tương ứng)
Chứng minh $\Delta ABK \sim \Delta MBN$ (c.g.c)
$\left. \Rightarrow\dfrac{AB}{AK} = \dfrac{MB}{MN} \right.$
Vậy $AB \cdot MN = AK \cdot MB$ (đpcm)
a) *Chứng minh CDHE là tứ giác nội tiếp:
Ta có: $\angle HEC = \angle HDC = 90^{{^\circ}}$ (gt) nên
+ $\Delta HEC$ vuông tại E là nội tiếp đường tròn đường kính HC
+ $\Delta HDC$ vuông tại D là nội tiếp đường tròn đường kính HC
$\Rightarrow$Các điểm C, E, H, D cùng nằm trên một đường tròn
Vậy CDHE là tứ giác nội tiếp.
* Chứng minh BKEN là tứ giác nội tiếp:
Ta có $\angle BKN = \angle BEN = 90^{{^\circ}}$ nên:
+ $\Delta BKN$vuông tại K là nội tiếp đường tròn đường kính BN
+ $\Delta BEN$ vuông tại E là nội tiếp đường tròn đường kính BN
$\Rightarrow$ Các điểm B, K, E, N cùng nằm trên một đường tròn
Vậy BKEN là tứ giác nội tiếp.
b) Vì BKEN là tứ giác nội tiếp (theo a) nên:
$\angle KNB = \angle KEB$ (góc nội tiếp cùng chắn cung KB) (1)
Ta có $\angle AEH\ = 90^{{^\circ}}$ (gt) nên $\Delta AEH$ vuông tại E
Mà K là trung điểm của AH (gt) nên EK là đường trung tuyến trong $\Delta AEH$
$\left. \Rightarrow AK = KH = KE = \dfrac{1}{2}AH \right.$ (theo tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông)
$\left. \Rightarrow\Delta KEH \right.$ cân tại K $\left. \Rightarrow\angle KEH = \angle KHE \right.$ (2)
Ta có $\angle KHE + \angle EHD = 180^{\circ}$ (hai góc kề bù)
Mà CEHD là tứ giác nội tiếp nên:
$\angle ECD + \angle EHB = 180^{{^\circ}}$ (theo tính chất của tứ giác nội tiếp)
Suy ra $\angle KHE + \angle EHD = \angle ECB + \angle EHD$
Suy ra $\angle KHE = \angle ECB$ (3)
Từ (1), (2), (3), suy ra $\angle KNB = \angle KEB = \angle KHE = \angle ECB$
Vậy $\angle ECB = \angle KNB$.
* Xét $\Delta BKN$ và $\Delta BEC$, ta có:
+ $\angle BKN = \angle BEC = 90^{{^\circ}}$
+ $\angle ECB = \angle KNB$ (chứng minh trên)
$\left. \Rightarrow\Delta BKN \sim \Delta BEC \right.$ (g.g)
Vậy $\dfrac{BK}{BN} = \dfrac{BE}{BC}$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm)
c) Ta có BM là đường kính của đường tròn (O) (gt) nên $\angle BAM$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)
$\left. \Rightarrow\angle BAM = 90^{\circ} \right.$
Xét $\Delta BEC$ và $\Delta BAM$ ta có:
+ $\angle BAM = \angle BEC = 90^{{^\circ}}$ (cmt)
+ $\angle AMB = \angle ACB$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
$\left. \Rightarrow\Delta BEC \sim \Delta BAM \right.$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{BE}{BC} = \dfrac{BA}{BM} \right.$ (hai cạnh tương ứng)
Mà theo b) ta có $\dfrac{BK}{BN} = \dfrac{BE}{BC}$ nên suy ra $\dfrac{BK}{BN} = \dfrac{BA}{BM}\left( {= \dfrac{BE}{BC}} \right)$ (*)
Ta có $\angle AMB = \angle ACB$ (cmt) mà theo b) có $\angle ACB = \angle KNB$ nên $\angle KNB = \angle AMB$
Xét $\Delta MBA$ và $\Delta NBK$, ta có:
+ $\angle KNB = \angle AMB$ (chứng minh trên)
+ $\angle BAM = \angle BKN = 90^{\circ}$ (gt)
$\left. \Rightarrow\Delta MBA \sim \Delta NBK \right.$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\angle ABM = \angle KBN \right.$
Mà $\left\{ \begin{array}{l} {\angle ABM = \angle ABK + \angle KBM} \\ {\angle KBN = \angle MBN + \angle KBM} \end{array} \right.$, nên suy ra $\angle ABK = \angle MBN$ (**)
Xét $\Delta ABK$ và $\Delta MBN$ có:
+ $\dfrac{BK}{BN} = \dfrac{AB}{MB}$ (theo cm *)
+ $\angle ABK = \angle MBN$(theo cm **)
$\left. \Rightarrow\Delta ABK \sim \Delta MBN \right.$ (c.g.c)
$\left. \Rightarrow\dfrac{AB}{AK} = \dfrac{MB}{MN} \right.$
Vậy $AB \cdot MN = AK \cdot MB$ (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
