Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AK, BE và CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của đoạn
Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AK, BE và CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của đoạn AH, N là trung điểm của đoạn BC.
Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm A, E, H, F cùng nằm trên một đường tròn.
b) NE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.
c) $CI^{2} - IE^{2} = CK.CB$.
Quảng cáo
a) Chứng minh $\Delta AFH$ vuông tại F và $\Delta AEH$ vuông tại E.
Vậy A, E, H, F cùng nằm trên một đường tròn đường kính AH.
b) Chứng minh $NE\bot IE$ tại E thuộc $(I)$
Vậy NE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.
c) Kẻ tiếp tuyến CM của $(I)$ với M là tiếp điểm và M nằm trên cung nhỏ AE
Khi đó $\Delta IMC$ vuông tại M nên $CM^{2} = CI^{2} - IM^{2} = CI^{2} - IE^{2}$ (định lý Pythagore) (1)
Chứng minh $\Delta CAM \sim \Delta CME\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{CA}{CM} = \dfrac{CM}{CE}$ hay $CM^{2} = CA.CE$ (2)
Chứng minh $\Delta CKA \sim \Delta CEB$ suy ra $CK.CB = CA.CE$ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $CK.CB = CI^{2} - IE^{2}$ (đpcm)
a) Do $CF\bot AB$ nên $\Delta AFH$ vuông tại F nên A, F, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH
Tương tự $\Delta AEH$ vuông tại E nên A, E, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH
Vậy A, E, H, F cùng nằm trên một đường tròn đường kính AH.
b) Do I là trung điểm AH nên I là tâm đường tròn nội tiếp AFHE
Khi đó $\Delta AIE$ cân tại I nên $\angle IEA = \angle IAE = \angle KAC$
Do $\Delta BEC$ vuông tại E có đường trung tuyến EN (do N là trung điểm BC) nên $EN = NC\left( {= \dfrac{1}{2}BC} \right)$
Khi đó $\Delta NEC$ câm tại N nên $\angle NEC = \angle NCE = \angle KCA$
Ta có $\angle NEI = 180^{0} - \left( {\angle IEA + \angle NEC} \right) = 180^{0} - \left( {\angle KAC + \angle KCA} \right) = \angle AKC = 90^{0}$
Suy ra $NE\bot IE$ tại E thuộc $(I)$
Vậy NE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.
c) Kẻ tiếp tuyến CM của $(I)$ với M là tiếp điểm và M nằm trên cung nhỏ AE
Khi đó $\Delta IMC$ vuông tại M nên $CM^{2} = CI^{2} - IM^{2} = CI^{2} - IE^{2}$ (định lý Pythagore) (1)
Ta có $\angle CME = \angle 90^{0} - \angle EMI = 90^{0} - \dfrac{180^{0} - \angle MIE}{2}$ (Do $\Delta IEM$ cân tại I)
$= 90^{0} - 90^{0} + \dfrac{\angle MIE}{2} = \angle EAM$ (cùng chắn cung EM)
Vậy $\angle CME = \angle CAM$
Kết hợp với $\angle ACM$ chung suy ra $\Delta CAM \sim \Delta CME\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{CA}{CM} = \dfrac{CM}{CE}$ hay $CM^{2} = CA.CE$ (2)
Lại có $\Delta CKA \sim \Delta CEB$ do $\angle BCA$ chung và $\angle CKA = \angle CEB\left( {= 90^{0}} \right)$
Nên $\dfrac{CK}{CE} = \dfrac{CA}{CB}$ hay $CK.CB = CA.CE$ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $CK.CB = CI^{2} - IE^{2}$ (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
