Cho hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x - 2y = 4m - 5}\\ {2x + y = 3m} \end{array}\;}

Câu hỏi số 803997:

Vận dụng

Cho hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x - 2y = 4m - 5}\\ {2x + y = 3m} \end{array}\;} \right.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \begin{array}{*{20}{c}} {(1)}\\ {(2)} \end{array}$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn $\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{y} = - 1$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:803997

Phương pháp giải

Từ phương trình $(2)$ ta có: $y = 3m - 2x$

Thế vào phương trình $(1)$ và đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất ẩn $x$ có dạng: $ax = b{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (*)$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi $(*)$ có nghiệm duy nhất ($a \neq 0$).

Tìm điều kiện của $m$ để hệ phương trình có nghiệm $x \neq 0,y \neq 0$ và thỏa mãn hệ thức bài cho.

Đối chiếu với điều kiện có nghiệm rồi kết luận.

Giải chi tiết

Từ phương trình $(2)$ ta có: $y = 3m - 2x$

Thế vào phương trình $(1)$ ta có:

$x - 2\left( {3m - 2x} \right) = 4m - 5$

$x - 6m + 4x = 4m - 5$

$5x = 10m - 5$

$x = 2m - 1$

$y = 3m - 2x$

$y = 3m - 2\left( {2m - 1} \right)$

$y = 3m - 4m + 2$

$y = - m + 2$

Với mọi $m$ thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {2m - 1; - m + 2} \right)$.

Theo đề bài ta có: $\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{y} = - 1{\mkern 1mu} \,\,{\mkern 1mu} (*)$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} {x \neq 0} \\ {y \neq 0} \end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{matrix} {2m - 1 \neq 0} \\ {- m + 2 \neq 0} \end{matrix} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{l} {m \neq \dfrac{1}{2}} \\ {m \neq 2} \end{array}\mspace{6mu}} \right.$

Khi đó:

$\dfrac{2}{2m - 1} - \dfrac{1}{- m + 2} = - 1$

$\dfrac{2}{2m - 1} + \dfrac{1}{m - 2} + 1 = 0$

$\left( {2m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) + 2\left( {m - 2} \right) + 2m - 1 = 0$

$2m^{2} - 5m + 2 + 2m - 4 + 2m - 1 = 0$

$2m^{2} - m - 3 = 0$

$2m^{2} + 2m - 3m - 3 = 0$

$2m\left( {m + 1} \right) - 3\left( {m + 1} \right) = 0$

$\left( {m + 1} \right)\left( {2m - 3} \right) = 0$

Suy ra $m = - 1\left( {tm} \right)$ và $m = \dfrac{3}{2}\mspace{6mu}\left( {tm} \right)$

Vậy $m = - 1$ và $m = \dfrac{3}{2}$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link