Trong không gian $Oxyz$ cho $A\left( {2;3;1} \right)$ và $B\left( {3; - 4;1} \right)$. Điểm M thuộc mặt

Câu hỏi số 804327:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ cho $A\left( {2;3;1} \right)$ và $B\left( {3; - 4;1} \right)$. Điểm M thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho $T = 2MA^{2} + MB^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị $3\text{MA} - 6\text{MB}$ bằng bao nhiêu (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:804327

Phương pháp giải

Gọi $I$ thoả mãn $\left. 2\overset{\rightarrow}{IA} + \overset{\rightarrow}{IB} = 0\Leftrightarrow I\left( {\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3};1} \right) \right.$

Chứng minh T nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I xuống (Oyz) bằng vecto

Giải chi tiết

Gọi $I$ thoả mãn $\left. 2\overset{\rightarrow}{IA} + \overset{\rightarrow}{IB} = 0\Leftrightarrow I\left( {\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3};1} \right) \right.$

Ta có $T = 2MA^{2} + MB^{2} = 2{\overset{\rightarrow}{MA}}^{2} + {\overset{\rightarrow}{MB}}^{2} = 2\left( {\overset{\rightarrow}{MI} + \overset{\rightarrow}{IA}} \right)^{2} + \left( {\overset{\rightarrow}{MI} + \overset{\rightarrow}{IB}} \right)^{2}$

$\begin{array}{l} {= 3MI^{2} + 2\overset{\rightarrow}{MI}\left( {2\overset{\rightarrow}{IA} + \overset{\rightarrow}{IB}} \right) + 2IA^{2} + IB^{2}} \\ {= 3MI^{2} + 2IA^{2} + IB^{2}} \end{array}$

Do I, A, B cố định nên $2IA^{2} + IB^{2}$ không đổi

Khi đó T nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất. Mà $M \in \left( {Oyz} \right)$ nên M là hình chiếu của I xuống (Oyz) hay $M\left( {0,\dfrac{2}{3},1} \right)$

Khi đó $3MA - 6MB = 3\sqrt{\left( {2 - 0} \right)^{2} + \left( {3 - \dfrac{2}{3}} \right)^{2} + \left( {1 - 1} \right)^{2}} - 6\sqrt{\left( {3 - 0} \right)^{2} + \left( {- 4 - \dfrac{2}{3}} \right)^{2} + \left( {1 - 1} \right)^{2}} \approx - 24$

Đáp án cần điền là: -24

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.