Một mặt bàn bằng kính có hình dạng như hình 1. Để tạo ra mặt bàn đó người ta dùng một

Câu hỏi số 805472:

Vận dụng

Một mặt bàn bằng kính có hình dạng như hình 1. Để tạo ra mặt bàn đó người ta dùng một tấm kính hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 14dm và tại mỗi góc trong tam giác cắt tấm kính theo các đường parabol như nhau. Xét tại đinh A, parabol có đỉnh M thuộc đường trung tuyến AH, tiếp xúc với hai cạnh AB, AC lần lượt tại N, P sao cho $AM = \sqrt{3}dm,AN = AP = 4dm$ (Hình 2).

Diện tích mặt bàn thu được là một số có dạng $a\sqrt{b}$ (với $a,b \in {\mathbb{N}}$ và $b$ không có ước chính phương khác 1). Tính tổng $a + b$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:805472

Phương pháp giải

Tính diện tích tam giác ABC

Gắn hệ trục toạ độ Oxy viết phương trình đường thẳng AP, parabol đi qua M, N, P từ đó tính diện tích $S_{1}$ giới hạn bởi AP và (P).

Diện tích bàn cần tìm là $S = S_{ABC} - 6.S_{1}$

Giải chi tiết

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

Do tam giác ABC đều và $AN = AP = 4\text{dm}$ nên tam giác ANP đều

$\left. \Rightarrow NP = 4\text{dm} \right.$,$OA = 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}dm$ và $OM = OA - AM = \sqrt{3}\text{dm}$

Diện tích tam giác ABC là $S_{ABC} = \dfrac{14^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = 49\sqrt{3}\left( \text{dm}^{2} \right)$.

Ta có: $A(0;2\sqrt{3}),M(0;\sqrt{3}),N( - 2;0),P(2;0)$.

Phương trình đường thẳng AP là: $\left. \dfrac{x - 2}{0 - 2} = \dfrac{y - 0}{2\sqrt{3} - 0}\Leftrightarrow y = - \sqrt{3}x + 2\sqrt{3}. \right.$

Giả sử parabol có đỉnh M có dạng $y = ax^{2} + \sqrt{3},(a \neq 0)$.

Parabol đi qua $\left. P\Rightarrow a = - \dfrac{\sqrt{3}}{4} \right.$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = - \sqrt{3}x + 2\sqrt{3};y = - \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^{2} + \sqrt{3}$ và hai đường thẳng $x = 0;x = 2$ là: $S_{1} = {\int_{0}^{2}\left| {( - \sqrt{3}x + 2\sqrt{3}) - \left( {- \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^{2} + \sqrt{3}} \right)} \right|}\text{d}x = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.

Diện tích mặt bàn là: $S = S_{ABC} - 6.S_{1} = 49\sqrt{3} - 6 \cdot \dfrac{2\sqrt{3}}{3} = 45\sqrt{3}$.

Vậy $a = 45,b = 3$ và $a + b = 48$.

Đáp án cần điền là: 48

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.