Giả sử số lượng tế bào của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng

Câu hỏi số 805473:

Vận dụng

Giả sử số lượng tế bào của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hoá bằng hàm số $P(t) = \dfrac{a}{b + e^{- 0,75t}}(a,b \in {\mathbb{R}})$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng giờ. Đạo hàm của hàm số $y = P(t)$ biểu thị tốc độ sinh trưởng của nấm men (tính bằng tế bào /giờ) tại thời điểm t (giờ). Tại thời điểm ban đầu $t = 0$, quần thể có 20 tế bào và tốc độ sinh trường là 10 tế bào/giờ. Tìm số lượng tế bào của quần thể nấm men tại thời điểm tốc độ sinh trường của quần thể đạt mức tối đa.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:805473

Phương pháp giải

Tính $P'(t)$. Từ $\left\{ \begin{array}{l} {P(0) = 20} \\ {P'(0) = 10} \end{array} \right.$ xác định a, b

Khảo sát hàm số tìm GTLN của $P'(t)$ đạt tại $t_{0}$. Khi đó số lượng tế bào là $P\left( t_{0} \right)$

Giải chi tiết

Ta có: $P'(t) = \dfrac{- a\left( {b + e^{- 0,75t}} \right)'}{\left( {b + e^{- 0,75t}} \right)^{2}} = \dfrac{0,75.a.e^{- 0,75t}}{\left( {b + e^{- 0,75t}} \right)^{2}} > 0$

Theo bài ra ta có hệ pt : $\left\{ \begin{array}{l} {P(0) = 20} \\ {P'(0) = 10} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{a}{b + e^{0}} = 20} \\ {\dfrac{0,75ae^{0}}{\left( {b + e^{0}} \right)^{2}} = 10} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{a}{b + 1} = 20(1)} \\ {\dfrac{0,75a}{{(b + 1)}^{2}} = 10(2)} \end{array} \right. \right. \right.$

Từ (1), $b + 1 = \dfrac{a}{20}$ thay vào (2) $\left. \dfrac{0,75a}{\left( \dfrac{a}{20} \right)^{2}} = 10\Leftrightarrow\dfrac{400 \cdot 0,75}{a} = 10\Leftrightarrow a = 40 \cdot 0,75 = 30 \right.$.

$\left. \Rightarrow b = \dfrac{30}{20} - 1 = 0,5\Rightarrow P(t) = \dfrac{30}{0,5 + e^{- 0,75t}} \right.$

Tốc độ sinh trưởng của nấm men là lớn nhất khi $v(t) = P'(t) = \dfrac{22,5\text{e}^{- 0,75t}}{\left( {0,5 + \text{e}^{- 0,75t}} \right)^{2}}$ lớn nhất.

Ta có $\left. v(t) = \dfrac{22,5\text{e}^{- 0,75t}}{\left( {0,5 + \text{e}^{- 0,75t}} \right)^{2}}\Rightarrow v'(t) = 0\Leftrightarrow t_{0} = 0,924196 \right.$

Khi đó số lượng tế bào của quân thể nấm men lớn nhất là $P\left( t_{0} \right) = 30$

Đáp án cần điền là: 30

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.