Cho tập $A = \left\{ 1;2;3;\ldots;2020 \right\}$ và các số $a,b,c \in A$. Biết có tất cả

Câu hỏi số 806947:

Vận dụng

Cho tập $A = \left\{ 1;2;3;\ldots;2020 \right\}$ và các số $a,b,c \in A$. Biết có tất cả $m$ số tự nhiên có dạng abc sao cho $a < b < c$ và $a + b + c = 2019$. Giá trị của $\dfrac{m}{2^{8}}$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:806947

Phương pháp giải

Xét phương trình $a + b + c = 2019$ $(1)$ với $a,b,c \in A$

Chứng minh phương trình có $1 + 2 + \ldots + 2017 = 1009.2017$ nghiệm bằng quy nạp.

Xét trường hợp các nghiệm mà $a = b = c;a = b \neq c;a = c \neq b$ và $b = c \neq a$ để tìm các nghiệm của (1) mà $a \neq b \neq c$.

Với mỗi bộ $\left( {a,b,c} \right)$ mà $a \neq b \neq c$ có $3! = 6$ cách xếp từ đó suy ra giá trị m.

Giải chi tiết

Xét phương trình $a + b + c = 2019$ $(1)$ với $a,b,c \in A$

Nếu $a = 2017,b + c = 2$ thì $\left( {b,c} \right) = \left( {1,1} \right)$ nên (1) có 1 nghiệm nguyên

Nếu $a = 2016,b + c = 3$ thì $\left( {b,c} \right) \in \left\{ {\left( {1,2} \right);\left( {2,1} \right)} \right\}$ nên (1) có 2 nghiệm nguyên

Nếu $a = 2015,b + c = 4$ thì $\left( {b,c} \right) \in \left\{ {\left( {1,3} \right);\left( {3,1} \right),\left( {2,2} \right)} \right\}$ nên (1) có 3 nghiệm nguyên

…..

Nếu $a = 1,b + c = 2018$ thì (1) có 2017 nghiệm nguyên dương

Tất cả các nghiệm của $(1)$ là $1 + 2 + \ldots + 2017 = 1009.2017$

TH1: Xét $a = b = c = 673$, (1) có 1 nghiệm $a = b = c = 673$

TH2: Xét $a = b,a \neq c$ thì (1) có dạng $2a + c = 2019$.

Có $1 \leq a \leq 1009$ nên với mỗi giá trị của $a$ ta tìm được duy nhất một giá trị của $c \in A$ để $2a + c = 2019$

$\left. \Rightarrow(1) \right.$ có 1009 nghiệm $(a;b;c)$, trừ nghiệm $(673;673;673)$ nên còn 1008 nghiệm

TH3: Tương tự $a = c,a \neq b$ hoặc $b = c,b \neq a$ có $1008.2 = 2016$ nghiệm

Suy ra (1) có số nghiệm $\left( {a,b,c} \right)$ mà $a \neq b \neq c$ là $1009.2017 - (1 + 3.1008) = 2032128$

Mỗi bộ $\left( {a,b,c} \right)$ mà $a \neq b \neq c$ có $3! = 6$ cách xếp nên số các số tự nhiên có dạng $\overline{abc}$ sao cho $a,b,c \in A,a < b < c$ và $a + b + c = 2019$ là $2032128:6 = 338688$ số nên $m = 338688$.

Vậy $\dfrac{m}{2^{8}} = 1323$.

Đáp án cần điền là: 1323

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.