Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán11

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \dfrac{x^{2} + ax + b}{x^{2} - 4} & {\text{~khi~}x < - 2} \\

Câu hỏi số 819689:
Thông hiểu

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \dfrac{x^{2} + ax + b}{x^{2} - 4} & {\text{~khi~}x < - 2} \\ {x + 1} & {\text{~khi~}x \geq - 2} \end{matrix} \right.$.

Đúng Sai
a) $\lim\limits_{x\rightarrow - 2^{+}}f(x) = - 1$.
b) Khi hàm số có giới hạn tại $x = - 2$ thì $3a - b = 12$.
c) $f( - 2) = 1$.
d) Khi $a = 2,b = 0$ hàm số không liên tục tại $x = - 2$.

Đáp án đúng là: Đ; Đ; S; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:819689
Phương pháp giải

a) Tính giới hạn một phía của hàm số khi $\left. x\rightarrow - 2^{+} \right.$.

b) Để hàm số có giới hạn tại $x = - 2$, giới hạn trái phải bằng giới hạn phải.

c) Tính giá trị của hàm số tại $x = - 2$.

d) Kiểm tra tính liên tục của hàm số tại $x = - 2$ khi $a = 2,b = 0$. Hàm số liên tục tại $x_{0}$ nếu $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x) = f(x_{0})$.

Giải chi tiết

a) Đúng: Ta có $\lim\limits_{x\rightarrow - 2^{+}}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow - 2^{+}}(x + 1) = - 2 + 1 = - 1$.

b) Đúng: Để hàm số có giới hạn tại $x = - 2$, ta cần:

$\lim\limits_{x\rightarrow - 2^{-}}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow - 2^{+}}f(x)$;$\lim\limits_{x\rightarrow - 2^{-}}\dfrac{x^{2} + ax + b}{x^{2} - 4} = - 1$

Để giới hạn này hữu hạn khi mẫu số tiến về 0, tử số cũng phải tiến về 0.

Suy ra $\left. {( - 2)}^{2} + a( - 2) + b = 0\Rightarrow 4 - 2a + b = 0\Rightarrow b = 2a - 4 \right.$.

Khi đó,

$\lim\limits_{x\rightarrow - 2^{-}}\dfrac{x^{2} + ax + b}{x^{2} - 4} = \lim\limits_{x\rightarrow - 2^{-}}\dfrac{x + a - 2}{x - 2}$

$= \dfrac{- 2 + a - 2}{- 2 - 2} = \dfrac{a - 4}{- 4} = \dfrac{4 - a}{4}$.

Vậy $\left. \dfrac{4 - a}{4} = - 1\Rightarrow 4 - a = - 4\Rightarrow a = 8 \right.$.

Thay $a = 8$ vào $b = 2a - 4$, ta có $b = 12.$

Vậy $3a - b = 3.8 - 12 = 12.$

c) Sai: $f( - 2)$ được xác định bởi nhánh $x + 1$ khi $x \geq - 2$.

Có $f( - 2) = - 2 + 1 = - 1$.

d) Đúng: Khi $a = 2,b = 0$:$\lim\limits_{x\rightarrow - 2^{+}}f(x) = - 1$.

$\lim\limits_{x\rightarrow - 2^{-}}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow - 2^{-}}\dfrac{x^{2} + 2x}{x^{2} - 4}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow - 2^{-}}\dfrac{x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \lim\limits_{x\rightarrow - 2^{-}}\dfrac{x}{x - 2}  = \dfrac{1}{2}$.

Vì $\lim\limits_{x\rightarrow - 2^{+}}f(x) \neq \lim\limits_{x\rightarrow - 2^{-}}f(x)$, nên hàm số không có giới hạn tại $x = - 2$.

Do đó hàm số không liên tục tại $x = - 2$.

Đáp án cần chọn là: Đ; Đ; S; Đ

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn