Cho cấp số cộng $\left( u_{n} \right)$ có tất cả các số hạng đều dương, số hạng

Câu hỏi số 821821:

Vận dụng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} \right)$ có tất cả các số hạng đều dương, số hạng đầu $u_{1} = 1$ và tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng 24850 . Khi đó

$S = \dfrac{1}{u_{2}\sqrt{u_{1}} + u_{1}\sqrt{u_{2}}} + \dfrac{1}{u_{3}\sqrt{u_{2}} + u_{2}\sqrt{u_{3}}} + \ldots + \dfrac{1}{u_{2025}\sqrt{u_{2024}} + u_{2024}\sqrt{u_{2025}}}$

$= \dfrac{1}{a}\left( {1 - \dfrac{1}{\sqrt{b}}} \right).$

Tính giá trị của biểu thức $P = - 2024a + b$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:821821

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $S_{100} = \dfrac{100}{2}(2u_{1} + (100 - 1)d)$ để tìm giá trị của công sai $d$.

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng $u_{n} = u_{1} + (n - 1)d$ để tìm giá trị của $u_{2025}$.

Rút gọn số hạng tổng quát của S: Biến đổi biểu thức $\dfrac{1}{u_{k + 1}\sqrt{u_{k}} + u_{k}\sqrt{u_{k + 1}}}$ thành dạng hiệu của hai phân số.

So sánh kết quả của S với dạng $\dfrac{1}{a}\left( {1 - \dfrac{1}{\sqrt{b}}} \right)$ để tìm giá trị của $a$ và $b$.

Giải chi tiết

Gọi d là công sai của cấp số cộng. Khi đó:

$\left. S_{100} = 100u_{1} + \dfrac{100.99}{2}d\Leftrightarrow 100 + 4950d = 24850\Leftrightarrow d = 5 \right.$

Do đó $u_{2025} = u_{1} + 2024d = 10121$.

Ta có: $\dfrac{1}{u_{k + 1}\sqrt{u_{k}} + u_{k}\sqrt{u_{k + 1}}} = \dfrac{1}{\sqrt{u_{k}} \cdot \sqrt{u_{k + 1}} \cdot \left( {\sqrt{u_{k}} + \sqrt{u_{k + 1}}} \right)}$

$= \dfrac{1}{d} \cdot \dfrac{\sqrt{u_{k + 1}} - \sqrt{u_{k}}}{\sqrt{u_{k}} \cdot \sqrt{u_{k + 1}}}$ $ = \dfrac{1}{d} \cdot \left( {\dfrac{1}{\sqrt{u_{k}}} - \dfrac{1}{\sqrt{u_{k + 1}}}} \right)$.

Do đó:

$S = \dfrac{1}{d} \cdot \left( {\dfrac{1}{\sqrt{u_{1}}} - \dfrac{1}{\sqrt{u_{2}}}} \right) + \dfrac{1}{d} \cdot \left( {\dfrac{1}{\sqrt{u_{2}}} - \dfrac{1}{\sqrt{u_{3}}}} \right) + \ldots$

$ + \dfrac{1}{d} \cdot \left( {\dfrac{1}{\sqrt{u_{2024}}} - \dfrac{1}{\sqrt{u_{2025}}}} \right)$

$= \dfrac{1}{d} \cdot \left( {\dfrac{1}{\sqrt{u_{1}}} - \dfrac{1}{\sqrt{u_{2025}}}} \right)$$= \dfrac{1}{5}\left( {1 - \dfrac{1}{\sqrt{10121}}} \right)$

Vậy $\left. a = 5,b = 10121\Rightarrow P = - 2024.5 + 10121 = 1 \right.$.

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.