Từ vị trí A của một công viên có dạng hình

Câu hỏi số 822037:

Vận dụng

Từ vị trí A của một công viên có dạng hình vuông ABCD cạnh a (km), hai bạn Nam và Lan bắt đầu chạy bộ cùng lúc với vận tốc không đổi dọc theo các cạnh của hình vuông và theo hai hướng khác nhau. Biết rằng, hai bạn gặp nhau lần thứ nhất tại vị trí M cách A một khoảng bằng 0,8km và gặp lại nhau lần thứ hai tại vị trí N cách A một khoảng bằng 0,6km như hình vẽ. Gọi x, y (km/h) lần lượt là vận tốc của Nam và Lan.

a) Chứng minh rằng \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{{AB + BC + CM}}{{AD + DM}}\).

b) Tính cạnh \(a\) của hình vuông.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:822037

Phương pháp giải

a) Do thời gian 2 bạn đi từ lúc xuất phát đến khi gặp nhau là như nhau nên quãng đường đi của Nam và Lan tỉ lệ thuận với vận tốc đi tương ứng của hai bạn.

b) Ta xác định phương trình.

Do \(a > 0\) nên áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\Delta ADM\) vuông tại D nên \(DM = \sqrt {A{M^2} - A{D^2}} = \sqrt {0,{8^2} - {a^2}} \) và

\(CM = DC - DM = a - \sqrt {0,{8^2} - {a^2}} \)

Tại lần gặp nhau đầu tiên bạn Lan đi được quãng đường là \(AD + DM = a + \sqrt {0,{8^2} - {a^2}} \)

Nam đi được quãng đường là \(AB + BC + MC = a + a + a - \sqrt {0,{8^2} - {a^2}} = 3a - \sqrt {0,{8^2} - {a^2}} \)

Do thời gian 2 bạn đi từ lúc xuất phát đến khi gặp nhau là như nhau nên quãng đường đi của Nam và Lan tỉ lệ thuận với vận tốc đi tương ứng của hai bạn.

Khi đó \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{{AB + BC + CM}}{{AD + DM}} = \dfrac{{3a - \sqrt {0,{8^2} - {a^2}} }}{{a + \sqrt {0,{8^2} - {a^2}} }}\)

b) Tại lần gặp thứ hai ở N thì Lan đi quãng đường là

\(AD + DC + BC + BN = 4a - 0,6\)

Nam đi quãng đường là \(AB + BC + CD + DA + AN = 4a + 0,6\)

Khi đó \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{{4a + 0,6}}{{4a - 0,6}}\)

Khi đó ta có phương trình \(\dfrac{{3a - \sqrt {0,{8^2} - {a^2}} }}{{a + \sqrt {0,{8^2} - {a^2}} }} = \dfrac{{4a + 0,6}}{{4a - 0,6}}\)

Suy ra \(\dfrac{{3a - \sqrt {0,{8^2} - {a^2}} }}{{4a + 0,6}} = \dfrac{{a + \sqrt {0,{8^2} - {a^2}} }}{{4a - 0,6}}\)

Do \(a > 0\) nên áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{{3a - \sqrt {0,{8^2} - {a^2}} }}{{4a + 0,6}} = \dfrac{{a + \sqrt {0,{8^2} - {a^2}} }}{{4a - 0,6}} = \dfrac{{3a - \sqrt {0,{8^2} - {a^2}} + a + \sqrt {0,{8^2} - {a^2}} }}{{4a + 0,6 + 4a - 0,6}} = \dfrac{{4a}}{{8a}} = \dfrac{1}{2}\)

Suy ra \(\dfrac{{3a - \sqrt {0,{8^2} - {a^2}} }}{{4a + 0,6}} = \dfrac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l}2\left( {3a - \sqrt {0,{8^2} - {a^2}} } \right) = 4a + 0,6\\6a - 2\sqrt {0,{8^2} - {a^2}} = 4a + 0,6\\2a - 0,6 = 2\sqrt {0,{8^2} - {a^2}} \\\sqrt {0,{8^2} - {a^2}} = a - 0,3\end{array}\)

Suy ra \(0,{8^2} - {a^2} = {\left( {a - 0,3} \right)^2}\) (với \(a > 0,3\))

\(\begin{array}{l}0,64 - {a^2} = {a^2} - 0,6a + 0,09\\2{a^2} - 0,6a - 0,55 = 0\end{array}\)

Giải phương trình ta được \(a \approx 0,7\) (thoả mãn) hoặc \(a \approx - 0,4\) (không thoả mãn)

Vậy cạnh \(a\) của hình vuông khoảng 0,7 km.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link