a) Cho $x$ là số thực. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $M = \dfrac{1}{{(2x - 3)}^{2024} +

Câu hỏi số 823723:

Vận dụng

a) Cho $x$ là số thực. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $M = \dfrac{1}{{(2x - 3)}^{2024} + 2024}$

b) Cho biểu thức $S = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{4} \right)^{2} + \ldots + \left( \dfrac{1}{49} \right)^{2}$. Chứng tỏ $\dfrac{12}{25} < S < \dfrac{48}{49}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:823723

Phương pháp giải

a) Có ${(2x - 3)}^{2024} \geq 0$ với mọi $x$ nên ${(2x - 3)}^{2024} + 2024 \geq 2024$ với mọi $x$

Từ đó kết luận giá trị lớn nhất.

b) Sử dụng phương pháp kẹp bất đẳng thức. Thay thế mẫu số $n^{2}$ bằng tích $n\left( {n + 1} \right)$ và $n\left( {n - 1} \right)$ để áp dụng công thức $\dfrac{1}{n\left( {n + 1} \right)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1}$ (phép khử liên tiếp).

Giải chi tiết

a) Có ${(2x - 3)}^{2024} \geq 0$ với mọi $x$ nên ${(2x - 3)}^{2024} + 2024 \geq 2024$ với mọi $x$

Suy ra $\dfrac{1}{{(2x - 3)}^{2024} + 2024} \leq \dfrac{1}{2024}$ với mọi $x$

Hay $M \leq \dfrac{1}{2024}$ với mọi x.

Dấu "=" xảy ra khi $x = \dfrac{3}{2}$ thì biểu thức M có giá trị lớn nhất là $\dfrac{1}{2024}$

b) Ta có:

$\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2.2} > \dfrac{1}{2.3}$

$\left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3.3} > \dfrac{1}{3.4}$

$\left( \dfrac{1}{4} \right)^{2} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4.4} > \dfrac{1}{4.5}$

…

$\left( \dfrac{1}{49} \right)^{2} = \dfrac{1}{49} \cdot \dfrac{1}{49} = \dfrac{1}{49.49} > \dfrac{1}{49.50}$

nên $S = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{4} \right)^{2} + \ldots + \left( \dfrac{1}{49} \right)^{2} > \dfrac{1}{2.3} + \dfrac{1}{3.4} + \dfrac{1}{4.5} + \ldots + \dfrac{1}{49.50} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{50}\ $

Vậy $S > \dfrac{12}{25}$ (1)

Ta có:

$\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2.2} < \dfrac{1}{1.2}$

$\left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3.3} < \dfrac{1}{2.3}$

$\left( \dfrac{1}{4} \right)^{2} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4.4} < \dfrac{1}{3.4}$

…

$\left( \dfrac{1}{49} \right)^{2} = \dfrac{1}{49} \cdot \dfrac{1}{49} = \dfrac{1}{49.49} < \dfrac{1}{48.49}$

nên $S = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} + \left( \dfrac{1}{4} \right)^{2} + \ldots + \left( \dfrac{1}{49} \right)^{2} < \dfrac{1}{1.2} + \dfrac{1}{2.3} + \dfrac{1}{3.4} + \ldots + \dfrac{1}{48.49} = 1 - \dfrac{1}{49}$

Vậy $S < \dfrac{48}{49}$ (2)

Từ (1) và (2) có $\dfrac{12}{25} < S < \dfrac{48}{49}$

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link