Cho $\Delta ABC$ có 3 góc nhọn $(AB < AC)$, đường tròn tâm $(O)$ đường kính BC cắt AB, AC lần
Cho $\Delta ABC$ có 3 góc nhọn $(AB < AC)$, đường tròn tâm $(O)$ đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Đoạn thẳng BE cắt CD tại H; tia AH cắt BC tại F.
a) Chứng minh $AF\bot BC$ và $\angle HEF = \angle HCF$
b) Chứng minh: EB là tia phân giác của $\angle DEF$ và $BH.ED = BD.AH$
c) Đường thẳng AH cắt đường tròn (O) tại điểm P (P nằm giữa A và H). Đường thẳng DF cắt đường tròn (O) tại điểm K (K khác D). Gọi M là giao điểm của EK và BC. Chứng minh $CE^{2} = BC.MC$.
Quảng cáo
a) *) Chứng minh $AF\bot BC$
Chứng minh BE và CD là các đường cao trong $\Delta ABC$
Mà AH cắt BC tại F nên $AF\bot BC$
*) Chứng minh $\angle HEF = \angle HCF$
Chứng minh E, H, C, F cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính HC.
Vậy $\angle HEF = \angle HCF$ (cùng chắn cung HF).
b) *) Chứng minh EB là tia phân giác của $\angle DEF$
Chứng minh $\angle DEB = \angle BEF$
Vậy EB là tia phân giác của $\angle DEF$
*) Chứng minh $BH.ED = BD.AH$
Chứng minh A,D,H,E cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh $\Delta ABH$~$\Delta EBD$ (g.g)
Suy ra $\dfrac{BH}{BD} = \dfrac{AH}{ED}$ (hai cạnh tương ứng) hay $BH.ED = BD.AH$
c) Chứng minh được B,D,H,F cùng nằm trên một đường tròn
Chứng minh $\Delta BEC$~$\Delta EMC$ (g.g)
Do đó $\dfrac{EC}{MC} = \dfrac{BC}{EC}$ hay $CE^{2} = BC.MC$.
a) *) Chứng minh $AF\bot BC$
$\angle BDC;\,\,\angle BEC$ là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) với đường kính BC.
Suy ra $\angle BDC = \angle BEC = 90^{0}$
Suy ra BE và CD là các đường cao trong $\Delta ABC$
Mà AH cắt BC tại F nên $AF\bot BC$
*) Chứng minh $\angle HEF = \angle HCF$
Ta có $\angle HEC = \angle HFC = 90^{0}$ suy ra $\Delta HEC$ vuông tại E và
$\Delta HFC$ vuông tại F.
Gọi I là trung điểm của HC.
Ta có $EI = IH = IC = \dfrac{1}{2}HC$ (t/c đường trung tuyến); $FI = IH = IC = \dfrac{1}{2}HC$ (t/c đường trung tuyến)
Suy ra I cách đều các điểm E, H, C, F hay E, H, C, F cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính HC.
Vậy $\angle HEF = \angle HCF$ (cùng chắn cung HF).
b) *) Chứng minh EB là tia phân giác của $\angle DEF$
$\angle DEB$ và $\angle DCB$ là các góc nội tiếp cùng chắn cung DB nên $\angle DEB = \angle DCB$
Mà $\angle BEF = \angle DCB$ (cmt)
Suy ra $\angle DEB = \angle BEF$
Vậy EB là tia phân giác của $\angle DEF$
*) Chứng minh $BH.ED = BD.AH$
Chứng minh A,D,H,E cùng nằm trên một đường tròn.
$\angle DAH$ và $\angle DEH$ là các góc nội tiếp cùng chắn cung DH nên $\angle DAH = \angle DEH$ hay $\angle BAH = \angle DEB$
Xét $\Delta ABH$ và $\Delta EBD$ có:
$\angle BAH = \angle DEB$ (cmt)
$\angle ABH$ chung
Suy ra $\Delta ABH$~$\Delta EBD$ (g.g)
Suy ra $\dfrac{BH}{BD} = \dfrac{AH}{ED}$ (hai cạnh tương ứng) hay $BH.ED = BD.AH$
c) Chứng minh được B,D,H,F cùng nằm trên một đường tròn
$\angle DBH$ và $\angle DFH$ là các góc nội tiếp cùng chắn cung DH nên $\angle DBH = \angle DFH$
Mà trong (O), $\angle DBH = \angle DBE = \angle DKE$ (các góc cùng chắn cung DE)
Suy ra $\angle DFH = \angle DKE$ hay $\angle DFP = \angle DKE$
Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên AF // EK
Suy ra EK vuông góc với BC
Suy ra tam giác EMC vuông có $\angle EMC = 90^{0}$
Xét $\Delta BEC$ và $\Delta EMC$ có:
$\angle BEC = \angle EMC = 90^{0}$ (cmt)
$\angle ECB$ chung
Suy ra $\Delta BEC$~$\Delta EMC$ (g.g)
Do đó $\dfrac{EC}{MC} = \dfrac{BC}{EC}$ hay $CE^{2} = BC.MC$.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
