Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M, N, G, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, MN, AC, BD.

Câu hỏi số 829139:

Vận dụng

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M, N, G, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, MN, AC, BD. Chọn các khẳng định đúng.

A. $2\overset{\rightarrow}{QP} = \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{CD}$

B. Giá trị tích vô hướng $\overset{\rightarrow}{AB} \cdot (\overset{\rightarrow}{AB} - \overset{\rightarrow}{CA})$ bằng $\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

C. Giá trị của $\overset{\rightarrow}{GA} + \overset{\rightarrow}{GB} + \overset{\rightarrow}{GC} = - \overset{\rightarrow}{GD}$.

D. Góc giữa $\overset{\rightarrow}{AC}$ và $\overset{\rightarrow}{MN}$ là: $60^{{^\circ}}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:829139

Phương pháp giải

a) Chèn điểm P, Q và sử dụng tổng các vecto đối nhau bằng 0

b) Công thức $\overset{\rightarrow}{a}.\overset{\rightarrow}{b} = \left| \overset{\rightarrow}{a} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{b} \right|.\cos\left( {\overset{\rightarrow}{a};\overset{\rightarrow}{b}} \right)$

c) Tính chất trọng tâm $\overset{\rightarrow}{GA} + \overset{\rightarrow}{GB} + \overset{\rightarrow}{GC} + \overset{\rightarrow}{GD} = \overset{\rightarrow}{0}$

d) $\cos(\overset{\rightarrow}{AC},\overset{\rightarrow}{MN}) = \dfrac{\overset{\rightarrow}{AC}.\overset{\rightarrow}{MN}}{\left| \overset{\rightarrow}{AC} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{MN} \right|}$

Giải chi tiết

a) Sai. $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{CD} = (\overset{\rightarrow}{AP} + \overset{\rightarrow}{PQ} + \overset{\rightarrow}{QB}) + (\overset{\rightarrow}{CP} + \overset{\rightarrow}{PQ} + \overset{\rightarrow}{QD}) = (\overset{\rightarrow}{AP} + \overset{\rightarrow}{CP}) + 2\overset{\rightarrow}{PQ} + (\overset{\rightarrow}{QB} + \overset{\rightarrow}{QD}) = 2\overset{\rightarrow}{PQ}$

b) Sai: Ta có: $\left. \overset{\rightarrow}{AB}(\overset{\rightarrow}{AB} - \overset{\rightarrow}{CA}) = \overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{AC} = {\overset{\rightarrow}{AB}}^{2} + \middle| \overset{\rightarrow}{AB} \middle| \cdot \middle| \overset{\rightarrow}{AC} \middle| \cdot \cos(\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC}) \right.$

$= AB^{2} + AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC}) = a^{2} + a \cdot a \cdot \cos 60^{{^\circ}} = a^{2} + \dfrac{a^{2}}{2} = \dfrac{3a^{2}}{2}.$

c) Đúng. Ta có $\overset{\rightarrow}{GA} + \overset{\rightarrow}{GB} = 2\overset{\rightarrow}{GM};\overset{\rightarrow}{GC} + \overset{\rightarrow}{GD} = 2\overset{\rightarrow}{GN};\overset{\rightarrow}{GM} + \overset{\rightarrow}{GN} = \overset{\rightarrow}{0}$

Suy ra: $\overset{\rightarrow}{GA} + \overset{\rightarrow}{GB} + \overset{\rightarrow}{GC} + \overset{\rightarrow}{GD} = \overset{\rightarrow}{0}$ hay $\overset{\rightarrow}{GA} + \overset{\rightarrow}{GB} + \overset{\rightarrow}{GC} = - \overset{\rightarrow}{GD}$.

d) Góc giữa $\overset{\rightarrow}{AC}$ và $\overset{\rightarrow}{MN}$ là: $60^{{^\circ}}$

d) Sai:Ta có $\cos(\overset{\rightarrow}{AC},\overset{\rightarrow}{MN}) = \dfrac{\overset{\rightarrow}{AC} \cdot \overset{\rightarrow}{MN}}{\left| \overset{\rightarrow}{AC} \middle| \cdot \middle| \overset{\rightarrow}{MN} \right|}$.

$\left. \overset{\rightarrow}{MN} = \dfrac{1}{2}(\overset{\rightarrow}{AC} + \overset{\rightarrow}{BD})\Rightarrow \middle| \overset{\rightarrow}{MN} \middle| {}_{2} = {\overset{\rightarrow}{MN}}^{2} = \dfrac{1}{4}\left( {{\overset{\rightarrow}{AC}}^{2} + 2\overset{\rightarrow}{AC} \cdot \overset{\rightarrow}{BD} + {\overset{\rightarrow}{BD}}^{2}} \right) = \dfrac{1}{4}\left( {2a^{2} + 2\overset{\rightarrow}{AC} \cdot \overset{\rightarrow}{BD}} \right) \right.$

Mà $\left. \overset{\rightarrow}{AC} \cdot \overset{\rightarrow}{BD} = \overset{\rightarrow}{AC} \cdot (\overset{\rightarrow}{AD} - \overset{\rightarrow}{AB}) = \overset{\rightarrow}{AC} \cdot \overset{\rightarrow}{AD} - \overset{\rightarrow}{AC} \cdot \overset{\rightarrow}{AB} = \middle| \overset{\rightarrow}{AC} \middle| \cdot \middle| \overset{\rightarrow}{AD} \middle| \cos 60^{{^\circ}} - \middle| \overset{\rightarrow}{AC} \middle| \cdot \middle| \overset{\rightarrow}{AB} \middle| \cdot \cos 60^{{^\circ}} = 0 \right.$

Vậy $\left. {\overset{\rightarrow}{MN}}^{2} = \dfrac{1}{4}.2a^{2} = \dfrac{a^{2}}{2}\Rightarrow\left| \overset{\rightarrow}{MN} \right| = \dfrac{a}{\sqrt{2}} \right.$.

Ta có $\overset{\rightarrow}{AC} \cdot \overset{\rightarrow}{MN} = \dfrac{1}{2}\overset{\rightarrow}{AC} \cdot (\overset{\rightarrow}{AC} + \overset{\rightarrow}{BD}) = \dfrac{1}{2}\left( {{\overset{\rightarrow}{AC}}^{2} + \overset{\rightarrow}{AC} \cdot \overset{\rightarrow}{BD}} \right) = \dfrac{a^{2}}{2}$.

$\left. \cos(\overset{\rightarrow}{AC},\overset{\rightarrow}{MN}) = \dfrac{\overset{\rightarrow}{AC} \cdot \overset{\rightarrow}{MN}}{\left| \overset{\rightarrow}{AC} \middle| \cdot \middle| \overset{\rightarrow}{MN} \right|} = \dfrac{\dfrac{a^{2}}{2}}{a \cdot \dfrac{a}{\sqrt{2}}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow(\overset{\rightarrow}{AC},\overset{\rightarrow}{MN}) = 45^{{^\circ}} \right.$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.