Cho nhị thức ${(2x + 3y)}^{n}$. Tìm $n$ biết hệ số của số hạng thứ 3 chia cho số hạng thứ 2

Câu hỏi số 832390:

Vận dụng

Cho nhị thức ${(2x + 3y)}^{n}$. Tìm $n$ biết hệ số của số hạng thứ 3 chia cho số hạng thứ 2 trong khai triển theo số mũ giảm dần của $x$ bằng $\dfrac{9}{2}$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:832390

Phương pháp giải

Viết công thức hệ số của số hạng thứ $k + 1$ là $C_{n}^{k}2^{n - k}3^{k}$.

Từ đó tìm hệ số của số hạng thứ 2 (ứng với $k = 1$) và số hạng thứ 3 (ứng với $k = 2$).

Lập tỉ số của hai hệ số đó theo đề bài và giải phương trình để tìm $n$.

Giải chi tiết

Ta có: ${(2x + 3y)}^{n} = {\sum\limits_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}}{(2x)}^{n - k} \cdot {(3y)}^{k}$.

Hệ số của số hạng thứ 2 ứng với $k = 1$ là: $P_{2} = C_{n}^{1}2^{n - 1} \cdot 3^{1}$.

Hệ số của số hạng thứ 3 ứng với $k = 2$ là: $P_{3} = C_{n}^{2}2^{n - 2} \cdot 3^{2}$.

Suy ra: $\dfrac{C_{n}^{2}2^{n - 2} \cdot 3^{2}}{C_{n}^{1}2^{n - 1} \cdot 3^{1}} = \dfrac{9}{2}$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{n(n - 1) \cdot 2^{n - 2} \cdot 3^{2}}{2n \cdot 2^{n - 1} \cdot 3} = \dfrac{9}{2} \right.$

$\left. \Leftrightarrow n - 1 = 6\Leftrightarrow n = 7 \right.$.

Vậy $n = 7$

Đáp án cần điền là: 7

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10