Cho nhị thức ${(2x + 3y)}^{n}$. Tìm $n$ biết hệ số của số hạng thứ 3 chia cho số hạng thứ 2

Câu hỏi số 832390:

Vận dụng

Cho nhị thức ${(2x + 3y)}^{n}$. Tìm $n$ biết hệ số của số hạng thứ 3 chia cho số hạng thứ 2 trong khai triển theo số mũ giảm dần của $x$ bằng $\dfrac{9}{2}$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:832390

Phương pháp giải

Viết công thức hệ số của số hạng thứ $k + 1$ là $C_{n}^{k}2^{n - k}3^{k}$.

Từ đó tìm hệ số của số hạng thứ 2 (ứng với $k = 1$) và số hạng thứ 3 (ứng với $k = 2$).

Lập tỉ số của hai hệ số đó theo đề bài và giải phương trình để tìm $n$.

Giải chi tiết

Ta có: ${(2x + 3y)}^{n} = {\sum\limits_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}}{(2x)}^{n - k} \cdot {(3y)}^{k}$.

Hệ số của số hạng thứ 2 ứng với $k = 1$ là: $P_{2} = C_{n}^{1}2^{n - 1} \cdot 3^{1}$.

Hệ số của số hạng thứ 3 ứng với $k = 2$ là: $P_{3} = C_{n}^{2}2^{n - 2} \cdot 3^{2}$.

Suy ra: $\dfrac{C_{n}^{2}2^{n - 2} \cdot 3^{2}}{C_{n}^{1}2^{n - 1} \cdot 3^{1}} = \dfrac{9}{2}$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{n(n - 1) \cdot 2^{n - 2} \cdot 3^{2}}{2n \cdot 2^{n - 1} \cdot 3} = \dfrac{9}{2} \right.$

$\left. \Leftrightarrow n - 1 = 6\Leftrightarrow n = 7 \right.$.

Vậy $n = 7$

Đáp án cần điền là: 7

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.