Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn đồng thời $\dfrac{1}{\text{log}_{2}x} +

Câu hỏi số 839844:

Vận dụng

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn đồng thời $\dfrac{1}{\text{log}_{2}x} + \dfrac{1}{\text{log}_{2}y} + \dfrac{1}{\text{log}_{2}z} = \dfrac{1}{2020}$ và $\text{log}_{2}\left( {xyz} \right) = 2020$. Tính $\text{log}_{2}\left( {xyz\left( {x + y + z} \right) - xy - yz - zx + 1} \right)$

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:839844

Phương pháp giải

Tính chất logarit $\log_{a}\left( {xy} \right) = \log_{a}x + \log_{a}y$ và $\log_{a^{m}}x^{n} = \dfrac{n}{m}\log_{a}x$

Sử dụng tính chất $\left. \left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) = 1\Leftrightarrow\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = 0 \right.$ tìm mối liên hệ x, y, z

Giải chi tiết

Đặt $a = \text{log}_{2}x;b = \text{log}_{2}y;c = \text{log}_{2}z$.

Ta có $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{2020}$ và $a + b + c = 2020$

$\begin{array}{l} {\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) = 1} \\ \left. \Leftrightarrow\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + ac + bc} \right) = abc \right. \\ \left. ~\Leftrightarrow a^{2}b + ab^{2} + abc + abc + b^{2}c + bc^{2} + a^{2}c + ac^{2} = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = 0 \right. \end{array}$

Vì vai trò $a,b,c$ như nhau nên giả sử $\left. a + b = 0\Rightarrow c = 2020\Rightarrow z = 2^{2020} \right.$ và $xy = 1$.

$\begin{array}{l} {\text{log}_{2}\left( {xyz\left( {x + y + z} \right) - xy - yz - zx + 1} \right)} \\ {= \text{log}_{2}\left( {z\left( {x + y + z} \right) - 1 - yz - zx + 1} \right)} \\ {~ = \text{log}_{2}\left( z^{2} \right) = 2\text{log}_{2}z = 4040} \end{array}$

Đáp án cần điền là: 4040

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.