Cho hàm số $f(x)$ xác định bởi $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{4x^{2} + 1} - 1}{x} &

Câu hỏi số 841475:

Thông hiểu

Cho hàm số $f(x)$ xác định bởi $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{4x^{2} + 1} - 1}{x} & {\text{khi~}x \neq 0} \\ 0 & {\text{khi~}x = 0} \end{cases}$. Giá trị $f'(0)$ bằng

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:841475

Phương pháp giải

Dùng định nghĩa tính đạo hàm tại 1 điểm $f'\left( x_{0} \right) = \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}$

Giải chi tiết

Dựa vào đề bài, ta có $f(0) = 0$.

Theo định nghĩa đạo hàm tại điểm $x = 0$, ta xét giới hạn:

$f'(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0}$

$f'(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{\sqrt{4x^2+1}-1}{x} - 0}{x}$

$f'(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4x^2+1}-1}{x^2}$

Đây là giới hạn dạng vô định $\dfrac{0}{0}$. Ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp $\sqrt{4x^2+1}+1$:

$f'(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{(\sqrt{4x^2+1}-1)(\sqrt{4x^2+1}+1)}{x^2(\sqrt{4x^2+1}+1)}$

$f'(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{(4x^2+1)-1}{x^2(\sqrt{4x^2+1}+1)}$

$f'(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{4x^2}{x^2(\sqrt{4x^2+1}+1)}$

Rút gọn $x^2$ ở cả tử và mẫu (do $x \to 0$ nên $x \neq 0$):

$f'(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{4}{\sqrt{4x^2+1}+1}$

Thực hiện thay $x = 0$ để tính giới hạn:

$f'(0) = \dfrac{4}{\sqrt{4 \cdot 0^2+1}+1} = \dfrac{4}{\sqrt{1}+1} = \dfrac{4}{2} = 2$.

Vậy giá trị của $f'(0)$ bằng $2$.

Đáp án: 2

Đáp án cần điền là: 2

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.