Cho $P = 1.2.3.4\ldots 2024.\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{2024}} \right)$. Chứng tỏ

Câu hỏi số 843405:

Vận dụng

Cho $P = 1.2.3.4\ldots 2024.\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{2024}} \right)$.

Chứng tỏ rằng $P$ là số tự nhiên chia hết cho 2025

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:843405

Phương pháp giải

- Ta tính $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{2024} = 2025.\left( {\dfrac{1}{1.2024} + \dfrac{1}{2.2023} + \ldots + \dfrac{1}{1012.1013}} \right)$ bằng cách ghép số cặp các phân số

- Khi đó $P = 2025.A$ với $A \in {\mathbb{N}}*$

Giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{2024}} \\ {= \left( {1 + \dfrac{1}{2024}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2023}} \right) + \ldots\left( {\dfrac{1}{1012} + \dfrac{1}{1013}} \right)} \\ {= \dfrac{2025}{1.2024} + \dfrac{2025}{2.2023} + \ldots + \dfrac{2025}{1012.1013}} \\ {= 2025.\left( {\dfrac{1}{1.2024} + \dfrac{1}{2.2023} + \ldots + \dfrac{1}{1012.1013}} \right)} \end{array}$

Khi đó

$\begin{array}{l} {P = 1.2.3\ldots 2024.2025.\left( {\dfrac{1}{1.2024} + \dfrac{1}{2.2023} + \ldots + \dfrac{1}{1012.1013}} \right)} \\ {P = 2025\left( {\dfrac{1.2.3\ldots 2024}{1.2024} + \dfrac{1.2.3\ldots 2024}{2.2023} + \ldots + \dfrac{1.2.3\ldots 2024}{1012.1013}} \right)} \\ {P = 2025\left( {a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{1012}} \right)} \end{array}$

(với $a_{1},\,\, a_{2},\ldots,a_{1012}$ là các số tự nhiên)

Do đó $P \vdots 2025$

Vậy $P \vdots 2025$

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link