Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với $A(1;0;0),\,\,B(3;2;4),\,C(0;5;4)$.

Câu hỏi số 847227:

Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với $A(1;0;0),\,\,B(3;2;4),\,C(0;5;4)$. Tìm hoành độ của điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|$ nhỏ nhất.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:847227

Phương pháp giải

Tham số hóa $M(m; n; 0) \in (Oxy)$ và tính tọa độ vectơ tổng $\vec{u} = \vec{MA} + \vec{MB} + 2\vec{MC}$ theo $m, n$.
Độ dài $|\vec{u}|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi các thành phần chứa biến $m, n$ trong tọa độ của $\vec{u}$ đồng thời bằng 0.

Giải chi tiết

$M\in \left( Oxy \right)\Rightarrow M(m;n;0)$.

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} = \left( {1 - m; - n;0} \right)\\\overrightarrow {MB} = \left( {3 - m;2 - n;4} \right)\\\overrightarrow {MC} = \left( { - m;5 - n;4} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \left( {4 - 4m;\,\,12 - 4n;\,\,12} \right)\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right| = \sqrt {{{(4 - 4m)}^2} + {{(12 - 4n)}^2} + {{12}^2}} \ge \sqrt {{{12}^2}} = 12\end{array}$

$\Rightarrow \left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi:

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 - 4m = 0}\\{12 - 4n = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{n = 3}\end{array}} \right.\end{array}$

Vậy, $M(1;3;0).$

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.