Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta:\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{-

Câu hỏi số 849934:

Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta:\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{- 2} = \dfrac{z}{3}$. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng vuông góc với $\Delta$, cắt trục $Ox,\,\, Oy$ và tia $Oz$ lần lượt tại $M,\,\, N,\,\, P$ sao cho thể tích tứ diện $OMNP$ bằng 6. Biết $(\alpha)$ đi qua $A\left( {2;1;c} \right)$. Tính giá trị của $c$

Đáp án:

Đáp án đúng là: 2

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:849934

Phương pháp giải

Vì $(\alpha)\bot\Delta$ nên $(\alpha):x - 2y + 3z + d = 0$

Tìm tọa độ các giao điểm $M,\,\, N,\,\, P$ theo $d$

Từ thể tích của tứ diện $OMNP$ tìm được $d$

Sau đó tìm tọa độ điểm $A$

Giải chi tiết

Ta có: $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = \left( {1; - 2;3} \right)$

Vì $(\alpha)\bot\Delta$ nên $(\alpha):x - 2y + 3z + d = 0$

Vì $M = (\alpha) \cap Ox$ nên $M\left( {- d;0;0} \right)$

Vì $N = (\alpha) \cap Oy$ nên $N\left( {0;\dfrac{d}{2};0} \right)$

Vì $P$ là giao điểm của $(\alpha)$ và tia $Oz$ nên $P\left( {0;0; - \dfrac{d}{3}} \right)\,\,\left( {d < 0} \right)$

Thể tích tứ diện $OMNP$ là 6 nên $\dfrac{1}{6}.OM.ON.OP = 6$ hay $\dfrac{1}{6}.OM.ON.OP = 6$

Suy ra $- d.\left( {- \dfrac{d}{2}} \right).\left( {- \dfrac{d}{3}} \right) = 36$ hay $d = - 6$

Khi đó $(\alpha):x - 2y + 3z - 6 = 0$

Điểm $A\left( {2;1;c} \right) \in (\alpha)$ nên $2 - 2.1 + 3c - 6 = 0$

Suy ra $c = 2$

Đáp án cần điền là: 2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.