Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $E\left( {2;1;3} \right)$, mặt phẳng

Câu hỏi số 849936:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $E\left( {2;1;3} \right)$, mặt phẳng $(P):2x + 2y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S):\left( {x - 3} \right)^{2} + \left( {y - 2} \right)^{2} + \left( {z - 5} \right)^{2} = 36$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $E$, nằm trong $(P)$ và cắt $(S)$ tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Biết $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = \left( {1;y;z} \right)$. Tính $T = 3y + z$

Đáp án:

Đáp án đúng là: -3

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:849936

Phương pháp giải

Chứng minh $(P)$ cắt $(S)$ và $E \in (P)$

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên $(P)$, kẻ $HM\bot AB\,\,\left( {M \in AB} \right)$

Khi đó $M$ là trung điểm của $AB$ hay $AB = 2AM = \sqrt{AH^{2} - MH^{2}}$

Để $AB$ nhỏ nhất thì $MH$ phải lớn nhất (do $AH$ không đổi)

Giải chi tiết

Ta có: $I\left( {3;2;5} \right)$ nên $d\left( {I,(P)} \right) = \dfrac{\left| {2.3 + 2.2 - 5 - 3} \right|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{2}{3} < R_{(S)} = 6$

Do đó mặt phẳng $(P)$ cắt $(S)$

Hơn nữa ta có $E \in (P)$ vì $2.2 + 2.1 - 3 - 3 = 0$

Ta có: $\overset{\rightarrow}{EI} = \left( {1;1;2} \right)$ nên $EI = \sqrt{6} < R_{(S)}$

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên $(P)$, kẻ $HM\bot AB\,\,\left( {M \in AB} \right)$

Khi đó $M$ là trung điểm của $AB$ hay $AB = 2AM =2 \sqrt{AH^{2} - MH^{2}}$

Để $AB$ nhỏ nhất thì $MH$ phải lớn nhất (do $AH$ không đổi)

Mà $MH \leq ME$ nên $AB$ nhỏ nhất khi $\left. M \equiv E\Leftrightarrow\Delta\bot HE \right.$

Như vậy $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}}$ cùng phương với $\overset{\rightarrow}{n_{IEH}}$

Ta có: $\overset{\rightarrow}{EI} = \left( {1;1;2} \right),\,\,\overset{\rightarrow}{n_{P}} = \left( {2;2; - 1} \right)$ nên $\overset{\rightarrow}{n_{IEH}} = \left( {- 5;5;0} \right)$

Do đó $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = \left( {1; - 1;0} \right)$

Vậy $T = 3.\left( {- 1} \right) + 0 = - 3$

Đáp án cần điền là: -3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.