Bác An muốn dựng khung cổng hình chữ nhật $ABCD$, bên ngoài cổng được bao bởi một khung sắt

Câu hỏi số 851471:

Vận dụng

Bác An muốn dựng khung cổng hình chữ nhật $ABCD$, bên ngoài cổng được bao bởi một khung sắt dạng nửa đường tròn tâm $O$ có bán kính $5m$ (Hình 3). Tính các kính thước của khung cổng để diện tích $ABCD$ lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:851471

Phương pháp giải

Đặt $OA = x$, tính diện tích ABCD theo x, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ẩn x.

Giải chi tiết

Đặt $OA = x\,(m)\left( {0 < x < 5} \right)$. Khi đó: $AB = 2x$

Xét tam giác OAD có:

$OA^{2} + AD^{2} = OD^{2}$

Suy ra $AD^{2} = OD^{2} - OA^{2} = 5^{2} - x^{2} = 25 - x^{2}$

Do đó$AD = \sqrt{25 - x^{2}}$

Diện tích $ABCD$là $S = 2x\sqrt{25 - x^{2}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $2x\sqrt{25 - x^{2}} \leq 2.\dfrac{x^{2} + 25 - x^{2}}{2} = 25$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = \sqrt{25 - x^{2}}$hay $x^{2} = 25 - x^{2}$ hay $2x^{2} = 25$ hay $x = \dfrac{5}{\sqrt{2}}$

Khi đó: $AD = \dfrac{5}{\sqrt{2}}(m)$;$AB = 2.\dfrac{5}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}(m)$

Vậy diện tích khung cổng lớn nhất khi chiều dài là $5\sqrt{2}$ m, chiều rộng là $\dfrac{5}{\sqrt{2}}$m.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link