1) Cho biểu thức: $P = \left( {\dfrac{1}{2\sqrt{x} + 3} + \dfrac{6}{4x - 9}} \right):\left( {\dfrac{2}{x - 1} +

Câu hỏi số 851940:

Vận dụng

1) Cho biểu thức: $P = \left( {\dfrac{1}{2\sqrt{x} + 3} + \dfrac{6}{4x - 9}} \right):\left( {\dfrac{2}{x - 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{2}{\sqrt{x} - 1}} \right)$, với $x \geq 0,x \neq 1,x \neq \dfrac{9}{4}$.

Tìm các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên.

2) Cho đa thức $P(x) = x^{5} - 3x^{4} + 4x^{3} + ax^{2} + 3x - 3$, trong đó $a$ là số thực. Tính $P(1)$ biết $P\left( {1 + \sqrt[3]{2}} \right) = 0$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:851940

Phương pháp giải

1) Rút gọn P, đưa P về dạng $P = a + \dfrac{b}{f(x)}$ và cho $f(x)$ thuộc ước của b tìm x

2) Từ $P\left( {1 + \sqrt[3]{2}} \right) = 0$ tìm a từ đó tính $P(1)$

Giải chi tiết

1) Với $x \geq 0,x \neq 1,x \neq \dfrac{9}{4}$. Ta có:

$\begin{array}{l} {P = \left( {\dfrac{1}{2\sqrt{x} + 3} + \dfrac{6}{4x - 9}} \right):\left( {\dfrac{2}{x - 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{2}{\sqrt{x} - 1}} \right)} \\ {= \left( {\dfrac{2\sqrt{x} - 3}{(2\sqrt{x} - 3)(2\sqrt{x} + 3)} + \dfrac{6}{(2\sqrt{x} - 3)(2\sqrt{x} + 3)}} \right):\left( \dfrac{2 + \sqrt{x} - 1 - 2(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \right)} \\ {= \dfrac{2\sqrt{x} + 3}{(2\sqrt{x} - 3)(2\sqrt{x} + 3)}:\left( \dfrac{- \sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \right)} \\ {= \dfrac{1}{2\sqrt{x} - 3} \cdot (1 - \sqrt{x}) = \dfrac{1 - \sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 3}} \end{array}$

Giả sử tồn tại $x$ nguyên sao cho $P$ nhận giá trị nguyên.

Ta có: $2P = \dfrac{2 - 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 3} = - \dfrac{1}{2\sqrt{x} - 3} - 1$

Vì $2P + 1$ nguyên nên $\dfrac{1}{2\sqrt{x} - 3}$ nguyên hay $2\sqrt{x} - 3 \in \left\{ {1; - 1} \right\}$.

Hay $\left. \sqrt{x} \in \left\{ {2;1} \right\}\Leftrightarrow x \in \left\{ {4;1} \right\} \right.$.

Thử lại và kết hợp với điều kiện xác định thì $x = 4$ thỏa mãn.

Vậy $x = 4$ thì biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên.

2) Đặt $t = 1 + \sqrt[3]{2}$. Khi đó $2 = {(t - 1)}^{3}$ hay $t^{3} - 3t^{2} + 3t - 3 = 0$.

Như vậy $t$ là nghiệm của phương trình $x^{3} - 3x^{2} + 3x - 3 = 0$. (1)

Ta có: $P(x) = \left( {x^{2} + 1} \right)\left( {x^{3} - 3x^{2} + 3x - 3} \right) + \left( {a + 6} \right)x^{2}$. (2)

Thay $x = t$ vào (2) và kết hợp với (1) thì $0 = P(t) = \left( {a + 6} \right)t^{2}$.

Suy ra $\left. a + 6 = 0\Leftrightarrow a = - 6 \right.$.

Do đó $P(x) = x^{5} - 3x^{4} + 4x^{3} - 6x^{2} + 3x - 3$ thì $P(1) = - 4$.

Vậy $P(1) = - 4$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link