1) Cho biểu thức: $P = \left( {\dfrac{1}{2\sqrt{x} + 3} + \dfrac{6}{4x - 9}} \right):\left( {\dfrac{2}{x - 1} +

Câu hỏi số 851940:

Vận dụng

1) Cho biểu thức: $P = \left( {\dfrac{1}{2\sqrt{x} + 3} + \dfrac{6}{4x - 9}} \right):\left( {\dfrac{2}{x - 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{2}{\sqrt{x} - 1}} \right)$, với $x \geq 0,x \neq 1,x \neq \dfrac{9}{4}$.

Tìm các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên.

2) Cho đa thức $P(x) = x^{5} - 3x^{4} + 4x^{3} + ax^{2} + 3x - 3$, trong đó $a$ là số thực. Tính $P(1)$ biết $P\left( {1 + \sqrt[3]{2}} \right) = 0$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:851940

Phương pháp giải

1) Rút gọn P, đưa P về dạng $P = a + \dfrac{b}{f(x)}$ và cho $f(x)$ thuộc ước của b tìm x

2) Từ $P\left( {1 + \sqrt[3]{2}} \right) = 0$ tìm a từ đó tính $P(1)$

Giải chi tiết

1) Với $x \geq 0,x \neq 1,x \neq \dfrac{9}{4}$. Ta có:

$\begin{array}{l} {P = \left( {\dfrac{1}{2\sqrt{x} + 3} + \dfrac{6}{4x - 9}} \right):\left( {\dfrac{2}{x - 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{2}{\sqrt{x} - 1}} \right)} \\ {= \left( {\dfrac{2\sqrt{x} - 3}{(2\sqrt{x} - 3)(2\sqrt{x} + 3)} + \dfrac{6}{(2\sqrt{x} - 3)(2\sqrt{x} + 3)}} \right):\left( \dfrac{2 + \sqrt{x} - 1 - 2(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \right)} \\ {= \dfrac{2\sqrt{x} + 3}{(2\sqrt{x} - 3)(2\sqrt{x} + 3)}:\left( \dfrac{- \sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \right)} \\ {= \dfrac{1}{2\sqrt{x} - 3} \cdot (1 - \sqrt{x}) = \dfrac{1 - \sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 3}} \end{array}$

Giả sử tồn tại $x$ nguyên sao cho $P$ nhận giá trị nguyên.

Ta có: $2P = \dfrac{2 - 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 3} = - \dfrac{1}{2\sqrt{x} - 3} - 1$

Vì $2P + 1$ nguyên nên $\dfrac{1}{2\sqrt{x} - 3}$ nguyên hay $2\sqrt{x} - 3 \in \left\{ {1; - 1} \right\}$.

Hay $\left. \sqrt{x} \in \left\{ {2;1} \right\}\Leftrightarrow x \in \left\{ {4;1} \right\} \right.$.

Thử lại và kết hợp với điều kiện xác định thì $x = 4$ thỏa mãn.

Vậy $x = 4$ thì biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên.

2) Đặt $t = 1 + \sqrt[3]{2}$. Khi đó $2 = {(t - 1)}^{3}$ hay $t^{3} - 3t^{2} + 3t - 3 = 0$.

Như vậy $t$ là nghiệm của phương trình $x^{3} - 3x^{2} + 3x - 3 = 0$. (1)

Ta có: $P(x) = \left( {x^{2} + 1} \right)\left( {x^{3} - 3x^{2} + 3x - 3} \right) + \left( {a + 6} \right)x^{2}$. (2)

Thay $x = t$ vào (2) và kết hợp với (1) thì $0 = P(t) = \left( {a + 6} \right)t^{2}$.

Suy ra $\left. a + 6 = 0\Leftrightarrow a = - 6 \right.$.

Do đó $P(x) = x^{5} - 3x^{4} + 4x^{3} - 6x^{2} + 3x - 3$ thì $P(1) = - 4$.

Vậy $P(1) = - 4$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link