Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng:a) $A = 4^{p} - 3^{p} - 1$ chia hết cho $3p$.b) $A =

Câu hỏi số 851897:

Vận dụng

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng:

a) $A = 4^{p} - 3^{p} - 1$ chia hết cho $3p$.

b) $A = 4^{p} - 3^{p} - 1$ chia hết cho $39p$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:851897

Phương pháp giải

a) Áp dụng định lý Fermat ta có: $4^{p - 1} \equiv 1\left( {\text{mod}p} \right);3^{p - 1} \equiv 1\left( {\text{mod}p} \right)$

b) Sử dụng đồng dư modun để chứng minh

Giải chi tiết

a) Ta có $A = 4^{p} - 3^{p} - 1 \equiv 1^{p} - 0 - 1\left( {\text{mod}3} \right) \equiv 0\left( {\text{mod}3} \right)$ suy ra $A$ : 3. (1)

+) Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3 nên $\left( {4,p} \right) = \left( {3,p} \right) = 1$.

Áp dụng định lý Fermat ta có: $4^{p - 1} \equiv 1\left( {\text{mod}p} \right);3^{p - 1} \equiv 1\left( {\text{mod}p} \right)$

$\left. \Rightarrow A = 4^{p} - 3^{p} - 1 \equiv 4 - 3 - 1\left( {\text{mod}p} \right) \equiv 0\left( {\text{mod}p} \right) \right.$

Hay $A \vdots p$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A = 4^{p} - 3^{p} - 1$ chia hết cho $3p$.

b) Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3 nên $p = 3k + i,i \in \left\{ {1;2} \right\}$.

Suy ra $3^{p} = 3^{3k + i} = 3^{i}.3^{3k} = 3^{i}.27^{k} \equiv 3^{i}.1^{k}\left( {\text{mod}13} \right) \equiv 3^{i}\left( {\text{mod}13} \right) \neq 1\left( {\text{mod}13} \right)$

Do đó $3^{p} - 1$ không chia hết cho 13. (3)

Khi đó $A \cdot \left( {3^{p} - 1} \right) = - \left( {1 + 3^{p} - 4^{p}} \right)\left( {3^{p} - 1} \right) \equiv - \left( {1 + 3^{p} - {( - 9)}^{p}} \right)\left( {3^{p} - 1} \right)\left( {\text{mod}13} \right)$

$\equiv \left( {9^{p} + 3^{p} + 1} \right)\left( {1 - 3^{p}} \right)\left( {\text{mod}13} \right) \equiv 1 - \left( 3^{p} \right)^{3}\left( {\text{mod}13} \right) \equiv 1 - 27^{p}\left( {\text{mod}13} \right) \equiv 0\left( {\text{mod}13} \right)$.

Hay $A \cdot \left( {3^{p} - 1} \right) \equiv 0\left( {\text{mod}13} \right)\ $ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $A \equiv 0\left( {\text{mod}13} \right)$ hay $A\overset{˙}{13}$. (5)

Nếu $\left( {p,13} \right) = 1$ thì theo (1), (2), (5) suy ra $A \vdots 39p$.

Nếu $p = 13$ thì ta có $4^{13} - 3^{13} - 1 = 65514540$ chia hết cho $39p = 507$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link