Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng:a) $A = 4^{p} - 3^{p} - 1$ chia hết cho $3p$.b) $A =

Câu hỏi số 851897:

Vận dụng

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng:

a) $A = 4^{p} - 3^{p} - 1$ chia hết cho $3p$.

b) $A = 4^{p} - 3^{p} - 1$ chia hết cho $39p$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:851897

Phương pháp giải

a) Áp dụng định lý Fermat ta có: $4^{p - 1} \equiv 1\left( {\text{mod}p} \right);3^{p - 1} \equiv 1\left( {\text{mod}p} \right)$

b) Sử dụng đồng dư modun để chứng minh

Giải chi tiết

a) Ta có $A = 4^{p} - 3^{p} - 1 \equiv 1^{p} - 0 - 1\left( {\text{mod}3} \right) \equiv 0\left( {\text{mod}3} \right)$ suy ra $A$ : 3. (1)

+) Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3 nên $\left( {4,p} \right) = \left( {3,p} \right) = 1$.

Áp dụng định lý Fermat ta có: $4^{p - 1} \equiv 1\left( {\text{mod}p} \right);3^{p - 1} \equiv 1\left( {\text{mod}p} \right)$

$\left. \Rightarrow A = 4^{p} - 3^{p} - 1 \equiv 4 - 3 - 1\left( {\text{mod}p} \right) \equiv 0\left( {\text{mod}p} \right) \right.$

Hay $A \vdots p$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A = 4^{p} - 3^{p} - 1$ chia hết cho $3p$.

b) Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3 nên $p = 3k + i,i \in \left\{ {1;2} \right\}$.

Suy ra $3^{p} = 3^{3k + i} = 3^{i}.3^{3k} = 3^{i}.27^{k} \equiv 3^{i}.1^{k}\left( {\text{mod}13} \right) \equiv 3^{i}\left( {\text{mod}13} \right) \neq 1\left( {\text{mod}13} \right)$

Do đó $3^{p} - 1$ không chia hết cho 13. (3)

Khi đó $A \cdot \left( {3^{p} - 1} \right) = - \left( {1 + 3^{p} - 4^{p}} \right)\left( {3^{p} - 1} \right) \equiv - \left( {1 + 3^{p} - {( - 9)}^{p}} \right)\left( {3^{p} - 1} \right)\left( {\text{mod}13} \right)$

$\equiv \left( {9^{p} + 3^{p} + 1} \right)\left( {1 - 3^{p}} \right)\left( {\text{mod}13} \right) \equiv 1 - \left( 3^{p} \right)^{3}\left( {\text{mod}13} \right) \equiv 1 - 27^{p}\left( {\text{mod}13} \right) \equiv 0\left( {\text{mod}13} \right)$.

Hay $A \cdot \left( {3^{p} - 1} \right) \equiv 0\left( {\text{mod}13} \right)\ $ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $A \equiv 0\left( {\text{mod}13} \right)$ hay $A\overset{˙}{13}$. (5)

Nếu $\left( {p,13} \right) = 1$ thì theo (1), (2), (5) suy ra $A \vdots 39p$.

Nếu $p = 13$ thì ta có $4^{13} - 3^{13} - 1 = 65514540$ chia hết cho $39p = 507$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link