1) Giải phương trình $x^{2} - 5x + 4\sqrt{3x + 1} - 4 = 0$.2) Giải hệ phương trình $\left\{

Câu hỏi số 851941:

Vận dụng

1) Giải phương trình $x^{2} - 5x + 4\sqrt{3x + 1} - 4 = 0$.

2) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} - 2xy + 2y^{2} + 2 = 4y} \\ {y{(x - y)}^{2} + 3x^{2} - 7y = - 6} \end{array} \right.$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:851941

Phương pháp giải

1) Tìm ĐKXĐ. Từ $\left. x^{2} - 5x + 4\sqrt{3x + 1} - 4 = 0\Leftrightarrow x^{2} - x = 4\left( {x + 1 - \sqrt{3x + 1}} \right) \right.$ nhân liên hợp 2 vế tìm x

2) Chia 2 vế của (1) cho y. Đặt $a = x - y,b = \dfrac{x^{2} + 2}{y}$.

Đưa về hệ phương trình ẩn a, b tìm a, b từ đó tìm x, y

Giải chi tiết

1) Điều kiện xác định: $x \geq - \dfrac{1}{3}$.

Ta có: $\left. x^{2} - 5x + 4\sqrt{3x + 1} - 4 = 0\Leftrightarrow x^{2} - x = 4\left( {x + 1 - \sqrt{3x + 1}} \right) \right.$

Khi đó ta liên hợp vế phải thì $x^{2} - x = 4 \cdot \dfrac{x^{2} - x}{x + 1 + \sqrt{3x + 1}}$ (chú ý $x + 1 + \sqrt{3x + 1} > 0$).

Trường hợp 1. $x^{2} - x = 0$ thì $x = 0$ hoặc $x = 1$ (thỏa mãn).

Trường hợp 2. $x + 1 + \sqrt{3x + 1} = 4$ thì $3 - x = \sqrt{3x + 1}$

Với $3 \geq x \geq - \dfrac{1}{3}$, ta bình phương hai vế của (1) thì có:

$\left. x^{2} - 6x + 9 = 3x + 1\Leftrightarrow x^{2} - 9x + 8 = 0. \right.$

Suy ra $x = 8$ (loại) hoặc $x = 1$.

Như vậy phương trình ban đầu có tập nghiệm là: $\left\{ {0;1} \right\}$.

2) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} - 2xy + 2y^{2} + 2 = 4y} \\ {y{(x - y)}^{2} + 3x^{2} - 7y = - 6} \end{array} \right.$

Nếu $y = 0$ thì từ (1) ta có: $x^{2} + 2 = 0$, vô nghiệm.

Nếu $y \neq 0$, khi đó $\left. x^{2} - 2xy + 2y^{2} + 2 = 4y\Leftrightarrow\dfrac{x^{2} + 2}{y} - 2\left( {x - y} \right) = 4 \right.$

Và $\left. y{(x - y)}^{2} + 3x^{2} - 7y = - 6\Leftrightarrow{(x - y)}^{2} + 3\dfrac{x^{2} + 2}{y} = 7 \right.$.

Đặt $a = x - y,b = \dfrac{x^{2} + 2}{y}$.

Khi đó hệ phương trình trở thành $\left\{ \begin{array}{l} {- 2a + b = 4} \\ {a^{2} + 3b = 7} \end{array} \right.$.

Suy ra $7 = a^{2} + 3b = a^{2} + 3\left( {4 + 2a} \right) = a^{2} + 6a + 12$ hay $\left( {a + 1} \right)\left( {a + 5} \right) = 0$.

Trường hợp 1: $\left. a = - 1\Rightarrow b = 2 \right.$, tức là

$\left\{ \begin{array}{l} {x - y = - 1} \\ {\dfrac{x^{2} + 2}{y} = 2} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {y - 1 = x} \\ {x^{2} = 2y - 2 = 2x} \end{array}\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 0,y = 1} \\ {x = 2,y = 3} \end{array} \right. \right. \right.$

Trường hợp 2: $\left. a = - 5\Rightarrow b = - 6 \right.$, tức là

$\left\{ \begin{array}{l} {x - y = - 5} \\ {\dfrac{x^{2} + 2}{y} = - 6} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {y = x + 5} \\ {x^{2} = - 6y - 2 = - 6x - 32} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {y = x + 5} \\ {x^{2} + 6x + 32 = 0\left( {VN} \right)} \end{array} \right. \right. \right.$

Như vậy nghiệm $\left( {x,y} \right)$ của hệ phương trình đã cho là $\left( {0,1} \right),\left( {2,3} \right)$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link