1) Tìm tất cả các cặp số nguyên $\left( {x;y} \right)$ thoả mãn phương trình $x^{4} - 6x^{3} + 18x^{2}

Câu hỏi số 851942:

Vận dụng

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên $\left( {x;y} \right)$ thoả mãn phương trình $x^{4} - 6x^{3} + 18x^{2} - y^{2} - 22x + 2y + 8 = 0$

2) Cho 3 số tự nhiên, biết tổng của hai số bất kỳ trong 3 số đó là một số chính phương. Chứng minh rằng trong 3 số đã cho có không quá một số lẻ.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:851942

Phương pháp giải

1) Biến đổi phương trình về dạng ${(y - 1)}^{2} = {(x - 1)}^{2}\left( {x^{2} - 4x + 9} \right)$ từ đó lập luận tìm x

2) Xét 2 trường hợp và chứng minh bằng phản chứng

Trường hợp 1: Nếu cả ba số đó đều lẻ có dạng $2x + 1,2y + 1,2z + 1$, trong đó $x,y,z$ là số tự nhiên.

Trường hợp 2: Nếu có hai số lẻ dạng $2x + 1,2y + 1$ và một số chẵn dạng $2z$, trong đó $x,y,z$ là số tự nhiên. Từ giả thiết đề bài thì $a^{2} = 2x + 1 + 2y + 1,b^{2} = 2y + 1 + 2z,c^{2} = 2z + 2x + 1$.

Giải chi tiết

1) Giả sử tồn tại cặp số nguyên $\left( {x;y} \right)$ thoả mãn phương trình

$x^{4} - 6x^{3} + 18x^{2} - y^{2} - 22x + 2y + 8 = 0.$

Khi đó $y^{2} - 2y + 1 = x^{4} - 6x^{3} + 18x^{2} - 22x + 9 = \left( {x^{2} - 2x + 1} \right)\left( {x^{2} - 4x + 9} \right)$

Hay ${(y - 1)}^{2} = {(x - 1)}^{2}\left( {x^{2} - 4x + 9} \right)$. .

Nếu $y = 1$ từ (*) kéo theo $x = 1$.

Nếu $y$ khác 1 , do ${(y - 1)}^{2},{(x - 1)}^{2}$ đều là số chính phương, dẫn tới $x^{2} - 4x + 9$ là số chính phương.

Đặt $x^{2} - 4x + 9 = a^{2}$, với $a$ là số nguyên dương.

Khi đó: $5 = a^{2} - {(x - 2)}^{2} = \left( {a - x + 2} \right)\left( {a + x - 2} \right)$.

Chú ý $\left( {a - x + 2} \right) + \left( {a + x - 2} \right) = 2a > 0$ nên ta xét hai trường hợp:

Trường họp 1: $\left\{ \begin{array}{l} {a - x + 2 = 1} \\ {a + x - 2 = 5} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = 3} \\ {x = 4} \end{array} \right. \right.$.

Khi $x = 4$ thì từ $\left( \text{*} \right)$ ta có: ${(y - 1)}^{2} = 81$ hay $y = 10 \vee y = - 8$.

Trường hợp 2: $\left\{ \begin{array}{l} {a - x + 2 = 5} \\ {a + x - 2 = 1} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = 3} \\ {x = 0} \end{array} \right. \right.$.

Khi $x = 0$ thì từ $\left( \text{*} \right)$ ta có: ${(y - 1)}^{2} = 9$ hay $y = 4 \vee y = - 2$.

Vậy các cặp số nguyên $\left( {x,y} \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $\left( {1,1} \right),\left( {4,10} \right),\left( {4, - 8} \right),\left( {0,4} \right),\left( {0, - 2} \right)$.

2) Giả sử có ít nhất hai số lẻ trong ba số tự nhiên đã cho.

Trường hợp 1: Nếu cả ba số đó đều lẻ có dạng $2x + 1,2y + 1,2z + 1$, trong đó $x,y,z$ là số tự nhiên.

Từ giả thiết đề bài thì $a^{2} = 2x + 1 + 2y + 1,b^{2} = 2y + 1 + 2z + 1,c^{2} = 2z + 1 + 2x + 1$.

Suy ra $a,b,c$ chẵn suy ra $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ chia hết cho 4. (1)

Mặt khác $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 4x + 4y + 4z + 6$ chia cho 4 dư 2 . (2)

Từ (1) và (2), ta dẫn đến điều mâu thuẫn.

Suy ra $a$ chẵn và $b,c$ lẻ suy ra $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ chia cho 4 dư 2. (3)

Mặt khác $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 4\left( {x + y + z + 1} \right)$ chia hết cho 4. (4)

Từ (3) và (4), ta dẫn đến điều mâu thuẫn.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link