1) Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB < AC$ và các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $I$ là
1) Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB < AC$ và các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $I$ là giao điểm của $EF$ và $AH$. Kẻ $IJ$ song song với $BC$ ($J$ thuộc $HE$). Đường thẳng $AJ$ cắt $BC$ tại $M$.
a) Chứng minh $\angle AEF = \angle AMB$.
b) Gọi $L$ là giao điểm của hai đường thẳng $EF$ và $BC$. Chứng minh $AC.LE = AB.LC$.
2) Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ cố định. Tam giác $ABC$ thay đổi ngoại tiếp đường tròn $\left( {O;R} \right)$, có $\angle BAC = 60^{\circ}$. Đường thẳng ($d$) thay đổi và luôn đi qua tâm O , ($d$) cắt các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $\text{M},\text{N}$. Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác $AMN$ theo $R$.
Quảng cáo
1) a) Chứng minh $AEJI$ nội tiếp và từ IJ//BC suy ra$\angle AEF = \angle AMB$
b) Chứng minh $\Delta ACM \sim \Delta LCE\left( {g.g} \right)$ và tứ giác $AEHF$ nội tiếp suy ra $AD$ là phân giác của góc $BAM$.
Kết hợp tam giác $BAM$ cân tại $A$ suy ra tỉ số
2) Sử dụng tỉ lệ diện tích để tính diện tích tam giác $AMN$ theo $R$.
Từ bất đẳng thức $\left( {a + b} \right)^{2} \geq 2ab$ tìm GTNN của S
1)
a) Ta chú ý $\angle AIJ = \angle AEJ = 90^{\circ}$.
Suy ra $I,E$ thuộc đường tròn đường kính $AJ$.
Như vậy tứ giác $AEJI$ nội tiếp nên $\angle AJI = \angle AEF$ (1).
Mặt khác $\angle AJI = \angle AMB$ (do $IJ$ song song với $BC$) (2).
Từ (1) (2) suy ra $\angle AMB = \angle AEF$.
b) Ta có biến đổi góc sau: $\angle AMC = 180^{\circ} - \angle AML = 180^{\circ} - \angle AEF = \angle CEL$.
Khi đó ta có: $\Delta ACM \sim \Delta LCE\left( {g.g} \right)$ suy ra $\dfrac{CA}{AM} = \dfrac{LC}{LE}$.(3)
Ta chú ý $\angle AFH = \angle AEH = 90^{\circ}$.
Suy ra $E,F$ thuộc đường tròn đường kính $AH$.
Như vậy tứ giác $AEHF$ nội tiếp thì có $\angle FAH = \angle FEH = \angle IAJ$.
Do đó $AD$ là phân giác của góc $BAM$.
Mặt khác $AD$ vuông góc $BM$ nên tam giác $BAM$ cân tại $A$ hay $AB = AM$.
Từ (3) thì $\dfrac{CA}{AB} = \dfrac{LC}{LE}$ hay $CA.LE = LC.AB$.
2) Ta kí hiệu $S_{ABC}$ là diện tích của tam giác $ABC$.
Ta gọi giao điểm $\left( {O,R} \right)$ với $BC,AC,AB$ lần lượt là $D,E,F$.
Khi đó $OE$ vuông góc $AC$ và $OF$ vuông góc $AM$.
Ta có: $S_{AMN} = S_{AON} + S_{AMO} = \dfrac{1}{2}OE \cdot AN + \dfrac{1}{2}OF \cdot AM = \dfrac{1}{2}R\left( {AN + AM} \right)$.
Mặt khác: $S_{AMN} = \dfrac{1}{2}AM \cdot AN \cdot \text{sin}60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}AM \cdot AN$ suy ra $AM \cdot AN = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}S_{AMN}$.
Từ (*) thì $\left( S_{AMN} \right)^{2} = \dfrac{R^{2}}{4}{(AM + AN)}^{2} \geq R^{2} \cdot AM \cdot AN = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}R^{2} \cdot S_{AMN}$.
Do đó $S_{AMN} \geq \dfrac{4\sqrt{3}}{3}R^{2}$.
Vậy $\text{min}S_{AMN} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}R^{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} {AM = AN} \\ {\angle MAN = 60^{\circ}} \end{array} \right.$ hay tam giác $AMN$ đều.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
