Trên mặt phẳng cho $2 \times 2026$ điểm phân biệt, trong đó không có bất kỳ ba điểm nào thẳng
Trên mặt phẳng cho $2 \times 2026$ điểm phân biệt, trong đó không có bất kỳ ba điểm nào thẳng hàng. Người ta tô 2026 điểm trong các điểm đã cho bằng màu đỏ và tô 2026 điểm còn lại bằng màu xanh. Chứng minh rằng, bao giờ cũng tồn tại 2026 đoạn thẳng mà mỗi đoạn thằng có 2 điểm đầu mút là một cặp điểm đỏ - xanh và 2 đoạn thẳng bất kỷ trong số các đoạn thẳng đó không có điểm chung.
Quảng cáo
Sử dụng Nguyên lý cực hạn để chọn ra cách nối sao cho tổng độ dài các đoạn thẳng là nhỏ nhất.
Dùng Bất đẳng thức tam giác chứng minh rằng nếu có hai đoạn thẳng cắt nhau thì tổng độ dài sẽ giảm đi (mâu thuẫn với giả thiết nhỏ nhất), suy ra cách nối tối ưu không có điểm chung.
Ta thấy luôn tồn tại cách nối 2026 cặp điểm đỏ - xanh bằng 2026 đoạn thẳng.
Mặt khác do chỉ có $2 \times 2026$ điểm nên số cách nối như vậy là hữu hạn.
Khi đó tồn tại cách nối "tốt" mà tổng độ dài các đoạn thẳng là nhỏ nhất.
Ta chứng minh cách nối "tốt" này thì với hai đoạn thẳng bất kỳ trong số các đoạn thẳng đó không có điểm chung.
Thật vậy, giả sử tồn hai đoạn thẳng $AC,BD$ cắt nhau tại $O$, trong đó $A,B$ được tô đỏ và $C,D$ được tô xanh. Ta thấy $AD + BC < AO + OD + BO + OC = AC + BD$.
Khi đó ta chỉ đổi cách nối từ ($AC,BD$) thành ($AD,BC$) thì có cách nối mới mà tổng các đoạn thẳng là nhỏ nhất.
Như vậy cách nối mà tổng độ dài các đoạn thẳng nhỏ nhất là cách nối mà không có 2 đoạn thẳng nào có điểm chung.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
