Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a + b + c = ab + bc + ca$. Chứng minh $\dfrac{3}{1 + a} +

Câu hỏi số 851945:

Vận dụng

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a + b + c = ab + bc + ca$. Chứng minh

$\dfrac{3}{1 + a} + \dfrac{3}{1 + b} + \dfrac{3}{1 + c} - \dfrac{4}{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)} \geq 4$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:851945

Phương pháp giải

BDT ban đầu $\left. ~\Leftrightarrow a + b + c + 1 \geq 4abc. \right.$ Giả sử $a \geq b \geq c$ suy ra $a + c - 1 > 0$ từ đó rút b và đánh giá.

Giải chi tiết

Ta thấy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$3\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right) + 3\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right) + 3\left( {c + 1} \right)\left( {a + 1} \right) - 4 \geq 4\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)$

$\left. \Leftrightarrow 3\left( {ab + bc + ca} \right) + 6\left( {a + b + c} \right) + 5 \geq 4abc + 4\left( {ab + bc + ca} \right) + 4\left( {a + b + c} \right) + 4 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow 2\left( {a + b + c} \right) + 1 \geq 4abc + ab + bc + ca \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow a + b + c + 1 \geq 4abc. \right.$ (*)

Không mất tính tổng quát, giả sử $a \geq b \geq c$.

Nếu $a \geq b \geq c > 1$ thì $ab + bc + ca > a + b + c$ (vô lý), suy ra $1 \geq c$.

Nếu $1 > a \geq b \geq c$ thì $ab + bc + ca < a + b + c$ (vô lý), suy ra $a \geq 1$.

Khi đó $\left. a \geq 1 \geq c\Rightarrow a + c - 1 > 0 \right.$.

Theo giả thiết thì $\left. b\left( {a + c - 1} \right) = a + c - ac\Rightarrow b = \dfrac{a + c - ac}{a + c - 1} \right.$

Thay vào (*) thì $a + c + 1 + \dfrac{a + c - ac}{a + c - 1} \geq 4ac \cdot \dfrac{a + c - ac}{a + c - 1}$ hay

$~{(a + c)}^{2} - 1 + a + c - ac \geq 4ac\left( {a + c - ac} \right)$

$\left. ~\Leftrightarrow\left\lbrack {{(a + c)}^{2} - 4ac\left( {a + c} \right) + 4a^{2}c^{2}} \right\rbrack + \left( {a - 1} \right)\left( {1 - c} \right) \geq 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow{(a + c - 2ac)}^{2} + \left( {a - 1} \right)\left( {1 - c} \right) \geq 0.\left( ~^{\text{**}} \right) \right.$

Ta thấy (**) đúng, như vậy bất đẳng thức (*) đúng.

Vậy Dấu bằng xảy rả khi và chỉ khi $a = b = c = 1$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link