Cho hàm số $f(x) = \sqrt{x^{2} + 2x + 4}$ có đồ thị $(C)$. Những phương án nào

Câu hỏi số 852190:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \sqrt{x^{2} + 2x + 4}$ có đồ thị $(C)$. Những phương án nào dưới đây đúng?

Tập nghiệm của bất phương trình $f'(x) > 0$ là $S = \left( {- 1; + \infty} \right)$.

B. Hàm số $f(x)$ đạt giá nhỏ lớn nhất tại $x = - 1$.

C. Tiếp tuyến $d$ của $(C)$ vuông góc với đường thẳng $\Delta:y = 2x + 1$ có phương trình là $y = \dfrac{1}{2}x + 2$.

D. Đồ thị $(C)$ có không quá một đường tiệm cận.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:852190

Phương pháp giải

1. Tìm $f'(x)$, giải phương trình $f'(x) > 0$

2. Lập bảng biến thiên

3. Phương trình tiếp tuyến $d$ của $(C)$ tại $x = x_{0}$ là $y = f'\left( x_{0} \right)\left( {x - x_{0}} \right) + f\left( x_{0} \right)$

4. Tìm các tiệm cận xiên

Giải chi tiết

1. TXĐ: $D = {\mathbb{R}}$

$\left. f'(x) > 0\Leftrightarrow\dfrac{2x + 2}{2\sqrt{x^{2} + 2x + 4}} > 0\Leftrightarrow\dfrac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2x + 4}} > 0\,\,(*) \right.$

Vì $x^{2} + 2x + 4 = \left( {x + 1} \right)^{2} + 3 > 0,\,\,\forall x \in {\mathbb{R}}$ nên $\sqrt{x^{2} + 2x + 4} > 0,\,\,\forall x \in {\mathbb{R}}$

Khi đó $\left. (*)\Leftrightarrow x > - 1 \right.$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là $\sqrt{3}$ tại $x = - 1$

Phương trình tiếp tuyến $d$ của $(C)$ tại $x = x_{0}$ là $y = f'\left( x_{0} \right)\left( {x - x_{0}} \right) + f\left( x_{0} \right)$

Vì $d\bot\Delta$ nên $\left. f'\left( x_{0} \right).2 = - 1\Rightarrow f'\left( x_{0} \right) = - \dfrac{1}{2} \right.$

$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow\dfrac{x_{0} + 1}{\sqrt{x_{0}^{2} + 2x_{0} + 4}} = - \dfrac{1}{2} \right. \\ \left. \Rightarrow\dfrac{x_{0}^{2} + 2x_{0} + 1}{x_{0}^{2} + 2x_{0} + 4} = \dfrac{1}{4} \right. \\ \left. \Rightarrow 4x_{0}^{2} + 8x_{0} + 4 = x_{0}^{2} + 2x_{0} + 4 \right. \\ \left. \Rightarrow 3x_{0}^{2} + 6x_{0} = 0 \right. \\ \left. \Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x_{0} = 0\,\,(L)} \\ {x_{0} = - 2} \end{array} \right. \right. \end{array}$

Khi đó phương trình tiếp tuyến $d$ là $d:\,\, y = - \dfrac{1}{2}\left( {x + 2} \right) + 2 = - \dfrac{1}{2}x + 1$

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

Ta có: $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x) = \infty$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

$\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 2x + 4}}{x} = 1 = a,\,\,\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\left\lbrack {f(x) - x} \right\rbrack = 1$

Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận xiên $y = x + 1$

$\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\dfrac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 2x + 4}}{x} = - 1 = a,\,\,\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\left\lbrack {f(x) - (-x)} \right\rbrack = - 1 = b$

Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận xiên $y = - x - 1$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.