Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho hàm số $f(x) = \log_{16}\left( {8x + 2} \right)$ và hàm số $g(x) = 4^{x - 1} -

Câu hỏi số 852193:
Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \log_{16}\left( {8x + 2} \right)$ và hàm số $g(x) = 4^{x - 1} - \dfrac{1}{2}$. Gọi $A\left( {x_{A};y_{A}} \right)$ và $B\left( {x_{B};y_{B}} \right)$ lần lượt là điểm nằm trên đồ thị hàm số $f(x)$ và $g(x)$ ($A,B$ đều thuộc góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$. Những phương án nào dưới đây đúng?

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:852193
Phương pháp giải

1. Đạo hàm của hàm số logarit

2.

Giải chi tiết

1.

Ta có: $f'(x) = \dfrac{8}{\left( {8x + 2} \right)\ln 16} = \dfrac{8}{4.2.\left( {4x + 1} \right)\ln 2} = \dfrac{1}{\left( {4x + 1} \right)\ln 2}$

2.

Ta có: $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\left( {4^{x - 1} - \dfrac{1}{2}} \right) = - \dfrac{1}{2}$

Do đó đồ thị hàm số $g(x)$ có tiệm cận ngang $y = - \dfrac{1}{2}$

3.

Ta có: $y_{B} = 4^{x_{B} - 1} - \dfrac{1}{2}$

Theo giả thiết điểm $B$ thuộc góc phần tư thứ nhất, nghĩa là cả hoành độ và tung độ đều phải dương ($x_B > 0$ và $y_B > 0$).

Khi đó $y_B > 0 \Leftrightarrow 4^{x_B-1} - \frac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow 4^{x_B-1} > 4^{-\frac{1}{2}} \Leftrightarrow x_B - 1 > -\frac{1}{2} \Leftrightarrow x_B > \frac{1}{2}$

Để $y_{B} \leq \dfrac{31}{2}$ thì $\left. 4^{x_{B} - 1} - \dfrac{1}{2} \leq \dfrac{31}{2}\Leftrightarrow 4^{x_{B} - 1} \leq 16\Leftrightarrow x_{B} \leq 3 \right.$

Vậy $\frac{1}{2} < x_B \leq 3$.

4.

Ta có: $f(x) = \log_{16}\left( {8x + 2} \right),\,\, g(x) = 4^{x - 1} - \dfrac{1}{2}$

$M$ thuộc đồ thị hàm số $f(x)$ nên $M\left( {x_{M};\log_{16}\left( {8x_{M} + 2} \right)} \right)$

Khi đó $M'\left( {\log_{16}\left( {8x_{M} + 2} \right);x_{M}} \right)$ là điểm đối xứng với $M$ qua $y = x$

Suy ra $\left. x_{M}^{'} = \log_{16}\left( {8x_{M} + 2} \right)\Rightarrow x_{M} = \dfrac{1}{8}\left( {16^{x_{M}^{'}} - 2} \right) \right.$

Khi đó $M'\left( {x_{M}^{'};\dfrac{1}{8}\left( {16x_{M}^{'} - 2} \right)} \right),\,\,\forall x_{M}^{'}$

Do đó $M'$ thuộc đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{8}\left( {16^{x} - 2} \right)$

Như vậy $(C):\,\, y = \dfrac{1}{8}\left( {16^{x} - 2} \right)$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và đồ thị hàm số $g(x)$:

$\begin{array}{l} {\dfrac{1}{8}\left( {16^{x} - 2} \right) = 4^{x - 1} - \dfrac{1}{2}} \\ \left. \Leftrightarrow 16^{x} - 2 = 2.4^{x} - 4 \right. \end{array}$

Đặt $t = 4^{x}\,\,\left( {t > 0} \right)$. Phương trình trở thành $t^{2} - 2 - 2t + 4 = 0$

Hay $t^{2} - 2t + 2 = 0$

Phương trình này vô nghiệm

5.

Gọi $A' \in (C)$. Khi đó $A'\left( {x_{A}^{'};\dfrac{1}{8}\left( {16^{x_{M}^{'}} - 2} \right)} \right)$

$A'$ nằm trên đường thẳng $OB$ nên $\overset{\rightarrow}{OA^{\prime}},\,\,\overset{\rightarrow}{OB}$ cùng phương

Khi đó $\left. \dfrac{x_{A}^{'}}{x_{B}} = \dfrac{\dfrac{1}{8}\left( {16^{x_{A}^{'}} - 2} \right)}{4^{x_{B} - 1} - \dfrac{1}{2}}\Rightarrow\dfrac{x_{A}^{'}}{x_{B}} = \dfrac{16x_{A}^{'} - 2}{2.4^{x_{B}} - 4}\Rightarrow\dfrac{2.4^{x_{B}} - 4}{x_{B}} = \dfrac{16^{x_{A}^{'}} - 2}{x_{A}^{'}} \right.$

Suy ra $\dfrac{4^{x_{B}} - 2}{\dfrac{x_{B}}{2}} = \dfrac{4^{2x_{A}^{'}} - 2}{2x_{A}^{'}}\,\,(*)$

Xét hàm số $h(t) = \dfrac{4^{t} - 2}{t}$

$h'(t) = \dfrac{4^{t}.t.\ln 4 - 4^{t} + 2}{t^{2}} > 0,\,\,\forall t \in {\mathbb{R}}$

Do đó $\left. (*)\Rightarrow x_{B} = 2x_{A}^{'} \right.$

Mà $x_{B} + x_{A} = \dfrac{77}{4}$ nên $2x_{A}^{'} + x_{A} = \dfrac{77}{4}$

Khi đó $2x_{A}^{'} + \dfrac{1}{8}\left( {16x_{A}^{'} - 2} \right) = \dfrac{77}{4}$

Suy ra $16x_{A}^{'} + 16x_{A}^{'} - 2 = 154$ hay $\left. 16x_{A}^{'} + 16^{x_{A}^{'}} = 156\Leftrightarrow x_{A}^{'} = 1,75 \right.$

Khi đó $y_{A}^{'} = \dfrac{63}{4}$

Suy ra $A\left( {\dfrac{63}{4};1,75} \right)$

Vậy $x_{A}.y_{A} = \dfrac{63}{4}.1,75 = \dfrac{441}{16}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn