Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại B, $AB = a$. Thể tích khối
Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại B, $AB = a$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là $\dfrac{a^{3}}{2}$. Những phương án nào dưới đây đúng?
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
1. Tìm $AA'$
$\left( {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \angle ABA'$
2. Gọi $O = A'C \cap AC'$
Khi đó $\dfrac{d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right)}{d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)} = \dfrac{C'O}{AO} = 1$
3. Dựng hình bình hành $ABDB'$
Khi đó $\cos\left( {AB',BC'} \right) = \cos\left( {BD,BC'} \right) = \cos\angle DBC'$
Chứng minh $\Delta DBC'$ là tam giác đều
4. Dựng hình bình hành $ABEC$
Khi đó $d\left( {AB,B'C} \right) = d\left( {B,\left( {B'CE} \right)} \right)$
5.
1.
Ta có $\left. AA'\bot\left( {ABC} \right)\Rightarrow AA'\bot BC \right.$
Mà $AB\bot BC$ nên $BC\bot\left( {AA'B'B} \right)$
Do đó $\left( {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \angle ABA'$
Ta có: $\left. AA'.S_{ABC} = AA'.\dfrac{1}{2}a^{2} = \dfrac{a^{3}}{2}\Rightarrow AA' = a \right.$
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AA' = AB = a$ nên nó là tam giác vuông cân
Khi đó $\angle ABA' = 45{^\circ}$
2.
Gọi $O = A'C \cap AC'$
Khi đó $\dfrac{d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right)}{d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)} = \dfrac{C'O}{AO} = 1$
Kẻ $AH\bot A'B\,\,\left( {H \in A'B} \right)$
Vì $BC\bot\left( {AA'B'B} \right)$ nên $BC\bot AH$
Mà $AH\bot A'B$ nên $AH\bot\left( {A'BC} \right)$
Suy ra $d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH = \dfrac{AA'.AB}{\sqrt{AA'^{2} + AB^{2}}} = \dfrac{a.a}{\sqrt{a^{2} + a^{2}}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
3.
Dựng hình bình hành $ABDB'$
Khi đó $\cos\left( {AB',BC'} \right) = \cos\left( {BD,BC'} \right) = \cos\angle DBC'$
Xét tam giác $A'C'D$ có $A'B' = B'C' = B'D$ nên nó là tam giác vuông
Mà $\angle B'A'C' = 45{^\circ}$ nên $\Delta A'C'D$ là tam giác vuông cân
Do đó $C'D = A'C' = a\sqrt{2}$
Xét $\Delta BC'D$ có $BC' = BD = C'D = a\sqrt{2}$ nên nó là tam giác đều
Do đó $\cos\angle DBC' = \cos 60{^\circ} = \dfrac{1}{2}$
4.
Dựng hình bình hành $ABEC$
Khi đó $d\left( {AB,B'C} \right) = d\left( {B,\left( {B'CE} \right)} \right)$
Kẻ $BI\bot B'C\,\,\left( {I \in B'C} \right)$
Ta có: $CE\bot BC,\,\, BB'\bot BC$ nên $CE\bot\left( {B'BC} \right)$
Suy ra $CE\bot BI$
Mà $BI\bot B'C$ nên $BI\bot\left( {B'CE} \right)$ hay $d\left( {B,\left( {B'CE} \right)} \right) = BI$
Trong tam giác vuông cân $B'BC$ có $BI = \dfrac{BB'.BC}{\sqrt{BB'^{2} + BC^{2}}} = \dfrac{a.a}{\sqrt{a^{2} + a^{2}}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Vậy $d\left( {AB,B'C} \right) = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
5.
(Sử dụng tiếp hình vẽ câu 3)
Ta có: $d\left( {AB',BC'} \right) = d\left( {B',\left( {BDC'} \right)} \right)$
Kẻ $BI \parallel A'C'\,\,\left( {I \in C'D} \right)$
Khi đó $BJ\bot C'D$
Kẻ $B'K\bot BJ\,\,\left( {K \in BJ} \right)$. Khi đó $d\left( {B',\left( {BDC'} \right)} \right) = B'K$
Ta có: $B'J$ là đường trung bình trong $\Delta A'C'D$
Do đó $B'J = \dfrac{A'C'}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Trong tam giác vuông $BB'J$ có $BK = \dfrac{B'J.BB'}{\sqrt{B'J^{2} + B{B'}^{2}}} = \dfrac{a.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{a^{2} + \left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)^{2}}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Vậy $d\left( {AB',BC'} \right) = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
